专题23 数列的基本知识与概念-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题23 数列的基本知识与概念 【考点预测】 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 3．数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】 （1）若数列的前项和为，通项公式为，则 注意：根据求时，不要忽视对的验证． （2）在数列中，若最大，则若最小，则 【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题 【典例例题】 题型一：数列的周期性 例1．已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（ ） A．1147 B．1148 C． D． 【答案】B 【分析】 当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值；当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值． 【详解】 ①当时， 若，则数列的各项为， 此时数列为周期数列，周期为3，由， 可知数列的前2020项中有673项为0； 若，则数列的各项为， 此时数列为周期数列，周期为3，由， 可知数列的前2020项中有673项为0； 若，则数列的各项为， 此时数列从第3项开始为周期数列，周期为3， 由，可知数列的前2020项中有672项为0； 若，则数列的各项为， 此时数列从第4项开始为周期数列，周期为3， 由，可知数列的前2020项中有672项为0； 若，则数列的各项为， 此时数列从第6项开始为周期数列，周期为3， 由，可知数列的前2020项中有671项为0； 依次类推，可知当，或时， 数列的前2020项中有100项是0； ②当时， 若，则数列的各项为， 此时数列从第7项开始为周期数列，周期为3， 由，可知数列的前2020项中有671项为0； 若，则数列的各项为， 此时数列从第9项开始为周期数列，周期为3， 由，可知数列的前2020项中有670项为0； 若，则数列的各项为， 此时数列从第10项开始为周期数列，周期为3， 由，可知数列的前2020项中有670项为0； 若，则数列的各项为， 此时数列从第12项开始为周期数列，周期为3， 由，可知数列的前2020项中有669项为0； 依次类推，可知当，或时， 数列的前2020项中有100项是0． 综上所述，若数列的前2020项中有100项是0， 则可取的值有． 故选：B． 【点睛】 本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件探究数列的性质，利用赋值法分别令和，可分别求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题． 例2．若表示不超过的最大整数（如，，），已知，，，则（ ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】 求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】 解：．， ∴，， ， 同理可得：；；．；，，……． ∴． 故是一个以周期为6的周期数列， 则． 故选：B． 【点睛】 本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 例3．数列满足，，其前项积为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果． 【详解】 当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列， ， ． 故选：D． 例4．若数列满足，且，则的前100项和为（ ） A．67 B．68 C．134 D．167 【答案】B 【分析】 由题意得，根据，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解． 【详解】 因为， 所以， 因为， 所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环， 所以的前100项的和为， 故选：B． 例5．数列满足若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值． 【详解】 因为，所