第21讲 利用导数探究函数的零点问题-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第21讲　利用导数探究函数的零点问题 · 考点1 数形结合研究函数的零点 [名师点睛] 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围． [典例]　 (2022·廊坊联考)已知函数f(x)＝x2－a2ln x，a∈R. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为16x＋2y－17＝0，求a的值； (2)若a>0，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，求a的取值范围． [解]　(1)由题意知函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－， 因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为16x＋2y－17＝0，所以切线斜率为－8，即x＝1时，f′(1)＝1－a2＝－8, 解得a＝±3. (2)因为函数y＝f(x)与x轴有两个交点， 所以方程f(x)＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根， 即x2＝a2ln x在(0，＋∞)上有两个不等实根， 方程x2＝a2ln x可化为＝， 令g(x)＝，x>0， 则只需直线y＝与函数g(x)＝的图像有两个不同的交点． g′(x)＝＝， 由g′(x)>0得1－2ln x>0，解得0＜x＜； 由g′(x)＜0得1－2ln x＜0，解得x>， 所以函数g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 所以g(x)max＝g()＝. 当x>1时，g(x)＝>0；当0＜x＜1时，g(x)＜0， 当x→＋∞时，g(x)→0. 画出函数g(x)的大致图像如下： 由函数图像可得，当0＜＜，即a>时，直线y＝与函数g(x)＝的图像有两个不同的交点，即函数y＝f(x)与x轴有两个交点，因此a的取值范围为a>. [举一反三]　 1.已知函数f(x)＝xex＋ex. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数． 解　(1)函数f(x)的定义域为R， 且f′(x)＝(x＋2)ex， 令f′(x)＝0得x＝－2，则f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 － 单调递增 ∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞)． 当x＝－2时，f(x)有极小值为f(－2)＝－，无极大值． (2)令f(x)＝0，得x＝－1， 当x<－1时，f(x)<0； 当x>－1时，f(x)>0，且f(x)的图象经过点，(－1,0)，(0,1)． 当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e－x增长更快，从而f(x)＝→0； 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根据以上信息，画出f(x)大致图象如图所示． 函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数为y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数． 当x＝－2时，f(x)有极小值f(－2)＝－. ∴关于函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点个数有如下结论： 当a<－时，零点的个数为0； 当a＝－或a≥0时，零点的个数为1； 当－<a<0时，零点的个数为2. 2.设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． 解　(1)当m＝e时，f(x)＝ln x＋， f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＝. 令f′(x)＝0，得x＝e. 当x∈(0，e)时，f′(x)<0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2. (2)由题意知 g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)． 设φ(x)＝－x3＋x(x>0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)． 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， ∴x＝1也是φ(x)的最大值点， ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 结合y＝φ(x)的图象(如图)可知， ①当m>时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当m>时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<时，函数g(x)有两个零点． · 考点2 利用函数性质研究函数零点 [名师点睛] 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最