第18讲 导数与函数的极值、最值-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第18讲　导数与函数的极值、最值 1．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 [提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点． (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． · 考点1 利用导数解决函数的极值问题 [名师点睛] 1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点． 2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值． [典例]　 1．（2022·浙江·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（       ） A．在上是增函数 B．当时，取得最小值 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】根据图象知： 当，时，函数单调递减； 当，时，函数单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确； 故当时，取得极小值，选项C不正确； 当时，不是取得最小值，选项B不正确； 故选：D. 2．（2022·江苏江苏·高三期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（       ） A．1 B． C． D．－1 【答案】A 【解析】由由题意得 , 故，则 ， 所以，令， 则，， 当或时，；当时，， 故函数在时取得极大值为， 故选：A. 3．（2022·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）已知函数的极小值为a，则a的值为______. 【答案】e 【解析】， 若，则当时，，单调递增， 此时不存在极值，不符合题意， 所以，易知在上单调递增，且当时，， 当时，，所以存在唯一的，使得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以的极小值， 因为， 所以，即， 设，因为， 所以在上单调递减，又， 所以，从而. 故答案为： 4．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)设函数，讨论在区间上的极值点的个数． 【解】(1)当时，，， 令，解得；令，解得或； 故在单调递减，在单调递增，在单调递减， 故的极小值为，极大值为． (2)由题可知：， 则 ． 要讨论的极值点的个数，令， 先讨论的零点个数， 令， 则，故， 令则. 故在上单调递增，又， 故时，，此时， 则在上单调递减， 又， ， ①当时，无实数解， 在没有实根， 故当时，，当时， 故在上单调递减，在上单调递增，只有一个极值点； ②当时，且时， 此时的实数解为2，且 在单调递增，无极值点； ③当且时，与有一个交点， 有一个实数解，且， 此时有两个不等的实根． 若在上单调递增，在上单调递减，上单调递增， 此时有2个极值点； 若，则在上单调递增，在上单调递减，上单调递增， 在上有2个极值点． 综上：当时，在上只有个极值点； 当时，在上没有极值点； 当且时，在上有2个极值点． [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【解析】由导函数在区间内的图象可知， 函数在内的图象与轴有四个公共点， 在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正， 在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负， 所以函数在开区间内的极小值点有个， 故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（       ） A． B．没有极大值 C．时，有极大值 D．时，有极小值 【答案】D 【解析】解：如图所