第17讲 导数与函数的单调性-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第17讲　导数与函数的单调性 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 · 考点1 不含参函数的单调性 [名师点睛] 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． [提醒]　①不能遗忘求函数的定义域，②函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． [典例]　 1．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数的递增区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当时，，，则； 当时，，，则； 在上的单调递增区间为. 故选：D. 2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（       ） A．－12 B．－10 C．8 D．10 【答案】A 【解析】＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解， ∴－1，3是＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12. 故选：A． [举一反三]　 1．（2022·浙江·高三专题练习）函数的单调递减区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，由，解得. 所以单调递减区间为. 故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）函数的减区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， 令，得，则，故的减区间是. 故选：C 3．（2022·全国·高三专题练习）以下使得函数单调递增的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意得，， 当或时，，函数在区间，上都有极值点，故不单调； 当时，，不合题意； 当时，，函数单调递增，符合题意. 故选：D. 4．（2021·广东湛江·高三阶段练习）函数的单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为：， ， 当时，函数单调递减，因为，所以解得， 故选：D 5．（2021·广东东莞·高三阶段练习）函数f(x)＝1＋x＋cosx在上的单调递增区间是________. 【答案】 【解析】f′(x)＝－sinx. 由，解得0<x， 所以f(x)在上的单调递增区间是. 故答案为： 6．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个单调递减区间是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵，∴， 令，即，若，则的一个解集，所以函数的一个单调递减区间， 故答案为：. 7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为_________． 【答案】 【解析】函数的定义域为，， 令，可得，解得，. 因此，函数的单调递减区间为. 故答案为：. · 考点2 含参函数的单调性 [名师点睛] 1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． [典例]　 1.(2022·济南调研)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x，讨论函数f(x)的单调性． 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－(a＋1)＋＝. ①当a≤0时，令f′(x)＜0，得到0＜x＜1；令f′(x)>0，得到x>1，此时f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． ②当0＜a＜1时，令f′(x)＜0，得到a＜x＜1；令f′(x)>0，得到0＜x＜a或x>1，此时f(x)在(a,1)上为减函数，在(0，a)和(1，＋∞)上为增函数． ③当a＝1时，显然f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上为增函数． ④当a>1时，令f′(x)＜0，得到1＜x＜a；令f′(x)>0，得到0＜x＜1或x>a.此时f(x)在(1，a)上为减函数，在(0,1)和(a，＋∞)上为增函数． 综上，当a≤0时， f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数； 当0＜a＜1时， f(x)在(a,1)上为减函数，在(0，a)和(1，＋∞)上为增函数； 当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数； 当a>1时，f(x)在(1，a)上为减函数，在(0,1)和(a，＋∞)上为增函数． 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间. 【解】(1)∵， ∴， ∴，又