第16讲 变化率与导数、导数的计算-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第16讲　变化率与导数、导数的计算 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝axln__a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． · 考点1 导数的运算 [名师点睛] 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值． [典例]　 1．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【解】（1）因为，则； （2）因为，则； （3）因为，则； （4）因为，则 ； （5）因为，故. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导数为，且，则（       ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】 由得，当时，，解得，所以，. 故选：B [举一反三]　 1．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 对于A：，故选项A正确； 对于B：，故选项B正确； 对于C：，故选项C正确； 对于D：，故选项D不正确； 所以求导运算不正确的是选项D， 故选：D. 2．（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足且，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】取，则有，即，又因为所以，所以，所以. 故选：C 3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，，，那么的值为(       ) A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】由两边同时乘x可得： ， 又， 因此． 由，即，可得， ∴， ∴． 故选：C﹒ 4．（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A：，故正确； B：，故错误； C：，故错误； D：，故正确. 故选：AD 5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数： （1）y=x（x2）； （2）y=（1）（1）； （3）y=xtanx； （4）y=x﹣sincos； （5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）. 【解】解：（1）y=x（x2）=x3+1；则函数的导数y′=3x2. （2）y=（1）（1）=1，则y′； （3）y=xtanx， 则y′ ； （4）y=x﹣sinsinx； 则y′=1cosx. （5） y′axlna. · 考点2 导数的几何意义 [名师点睛] 利用导数求切线方程的一般过程 已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解： 1．若P(x0，y0)是切点，则曲线的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)； 2．若P(x0，y0)不是切点，则分以下几个步骤： (1)设出切点坐标P′(x1，y1)． (2)写出过P′(x1，y1)的切线方程y－y1＝f′(x1)·(x－x1)． (3)将点P(x0，y0)的坐标代入切线方程求出x1. (4)将x1的值代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)得到所求切线方程． [提示]　“在”和“过”的区别： (1)“曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线”指点P(x0，y0)是切点，切线的斜率k＝f′(x0)； (2)“曲线y＝f(x)过点P(x0，y