第14讲 函数与方程-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第14讲　函数与方程 1．函数零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 (3)存在性定理 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c (a＞0) 的图象 与x轴 的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点 x1，x2 x1 无 · 考点1 判断函数零点所在的区间 [名师点睛] 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断． [典例]　 1．（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 是上的连续增函数, , 可得, 所以函数 的零点所在的区间是. 故选：C 2．（2022·全国·高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为连续函数，，，根据零点存在性定理可知，内存在零点；，，，同理可知：区间，区间上都存在零点，区间上没有零点 故选：D [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数是连续函数， ∵， ， ∴， 由零点判定定理可知函数的零点在． 故选：B． 2．（2022·江苏·高三专题练习）函数的零点所在区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上是增函数， 又，，，，， 根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是 故选：C 3．（2022·浙江·高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数在R上单调递增， 且，，， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：B. 4．（2022·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表： -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 -4 -6 -6 -4 6 可以判断方程的两根所在的区间是（       ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【解析】由表格可知：， 所以， 结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和， 故选：A. · 考点2 判断函数零点的个数 [名师点睛] 判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． (2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． (3)拆分成两个函数，画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，原函数就有几个不同的零点． [典例]　 1.（2022·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】当时，，则；以此类推，当时，；…； 在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示. 由图可知，与的图象有7个不同的交点 故选：D 2.（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（       ） A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【解析】因为，所以的周期为2， 又因为为奇函数，， 令，得，又，所以， 当时，， 由单调递减得函数在上单调递增， 所以，得， 作出函数图象如图所示， 由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点. 当经过点时，，此时有5个零点. 当时，有4个零点. 当经过点时，，此时有5个零点. 当时，有4个零点. 当经过点时，，此时在上只有3个零点. 当时，有4个零点. 所以当时，函数在上有4个或5个零点. 故选：D 3．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有个1零点； ③存在负数，使得恰有个3零点； ④存在正数，使得恰有个3零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，