2022年北京大学强基计划笔试数学试题

2022年北京大学强基计划测试数学试题 考试时间：2022年6月29日9：00一10：00 备注：数学一共20道题目，均为单项选择，考试时间为1个小时，考试形式为机考 1.满足2m+1和3n+1都是完全平方数，且n≤2022的整数n共有()个 A.11 B.12 C.13 D.以上都不对 2.凸四边形ABCD满足∠ABD=∠BDC=50°，∠CAD=∠ACB=40°，则符合题意且 不相似的凸四边形ABCD的个数为 3.已知正整数y不超过2022且满足100整除2”+y,则这样的y的个数为」 4.已知[表示不超过x的整数，如.21=1，〔-1.21=-2，已知a=V5,+1,则 2 [a12]= A.321 B.322 C.323 D.以上都不对 5.已知六位数h4,满足弘4.4=(1+功)”，则所有满足条件的六位数 fadsde 之和为 (f4dsd不必为三位数) 6.已知整数a,b,c,d满足a+b+c+d=6,则ab+ac+ad+bc+bd+cd的正整数取值个 数为 7.已知凸四边形ABCD满足：AB=1,BC=2,CD=4,DA=3,则其内切圆半径取 值范围为 8.已知a,b∈R,a=5-a+(6-4b)i,2=2+2a+(3+b)i,3=3-a+(1+3b)i 当2+|2+|23最小时，3a+6b= 9.已知复数2，满足号与的实部和虚部均属于1,1]，则：在复平面上形成轨迹的面积 为 10.在△ABC中，Sam=a-),其外接圆半径R=2,且 46mA-m到-=(3a-6小mB,则smA2B+m号 2 1.在梯形ABCD中，AD∥BC,M在边CD上，有∠ABM=∠CBD=∠BCD,则AM BM 取值范围为 12.已知V√1一x2=4红3一3x,则该方程所有实数根的个数与所有实数根乘积的比值是 13.若A为十进制数，A=a0a1…an,记D(A)=a0十2a1十22a2十…+2"an,已知 b=203310,bn+1=D(bn),则b2o2各位数字的平方和为 14.已知数列(a}满足a,=12,a+1=(3+a,+31+2a),则a0最接近的整数为 15.已知f)是二次函数，f(-2)=0,且2≤f()≤4，则f(10)= 2 16.己知数列Ka,}1≤k≤5各项均为正整数，且lak+1一ax≤1，{ar}中存在一项为3，可能的 数列的个数为 17.将不大于12的正整数分为6个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质， 则不同的分法有」 种 18.己知，f,d为正整数，f(x)=(1+x)”+(1+x)f+(1+x)4,其中x的系数为10，则 x2的系数的最大可能值与最小可能值之和为 19.若△ABC三边长为等差数列，则cosA十cosB+cosC的取值范围是 20.内接于椭圆+=1的菱形周长的最大值和最小值之和是() 9 A.4y13 B.1413 c”vs D.上述三个选项都不对2022 年北京大学强基计划笔试数学试题 1. 已知 2n+1与 3n+1均为完全平方数且 n不超过 2022，则正整数 n的个数为 . 答案：1 解：设 2n+ 1 = a2，3n+ 1 = b2 化简得到 3a2 − 2b2 = 1，即 (3a)2 − 6b2 = 3， 由于 (3, 1)为佩尔方程 x2 − 6y2 = 3的一组解， 由佩尔方程的性质知其有无穷多组解， 对其任意一组解 (xk, yk)，由于 x 2 k = 6y 2 k + 3，所以 xk 为被 3整除的正奇数. 则 a = xk 3 ，n = a 2 − 1 2 ，知这样的 n均为正整数. 由于 1 ≤ n ≤ 2022，知 1 < a ≤ 63，所以 3 < xk ≤ 189， 由佩尔方程的通解知 xk = (3 + 2 √ 6)(5 + 2 √ 6)k + (3− 2 √ 6)(5− 2 √ 6)k 2 ， 由特征方程知其所对应的递推公式为 xk+2 = 10xk+1−xk，x1 = 3，x2 = 27，得 x3 = 267， 因此仅 x2 = 27满足条件，此时 n = 40. 所以这样的 n为 1个.  1 2. 已知凸四边形 ABCD满足 ∠ABD = ∠BDC = 50◦，∠CAD = ∠ACB = 40◦，则符合 题意且不相似的凸四边形 ABCD的个数为 . 答案：2 解：对凸四边形 ABCD，由 ∠CAD = ∠ACB，有 AD BC；由 ∠ABD = ∠BDC， 图 1: 第 2题图 有 AB CD.故四边形 ABCD为平行四边形. 如图，设对角线 AC 中点为 O. 我们下面固定对角线 AC，则点 D 在固定的射线 AD 上，我们只需求出该射线上满足 ∠CDO = 50◦的点 D个数即可. 记过 C,O且与射线 AD相切的圆为 ω(易知