专题20 排列组合问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题20　排列组合问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相 邻，则不同排列方式共有(　　) A．12种　　　　　　　　B．24种　　　　　　　　C．36种　　　　　　　　D．48种 1．答案　B　解析　因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列, 有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选B． 【方法总结】 1．解决排列组合综合问题的三大途径 (1)从特殊元素出发，事件分类，用加法； (2)从特殊位置出发，事件分步，用乘法； (3)从对立事件出发，用减法． 2．解决排列与组合问题的四大原则 (1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置． (2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列． (3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题． (4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配． 3．解决排列与组合问题的十大方法 (1)重复排列住店法；(2)特色元素优先法；(3)相邻问题捆绑法；(4)相间问题插空法；(5)定序问题用除法；(6)分排问题直排法；(7)先选后排综合法；(8)多元问题分类法；(9)分球问题隔板法；(10)正难则反间接法． 【题型突破】 题型一　多面手问题 1．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和 日语的各一人到边远地区支教，则有________种不同的选法． 1．答案　20　解析　由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语． 方法一　分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法． 方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法．故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选．可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法． 2．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工， 现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有________种不同的选派法． 2．答案　185　解析　方法一　设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有CC＝5(种)，A， B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC＝80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40(种)，所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法． 方法二　5名男钳工有4名被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝75(种)，5名男钳工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有CCC＝10(种)，所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法． 方法三　4名女车工都被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有CCC＝30(种)，所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法． 3．某歌舞有10人参加演出，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中 选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，则有________种不同的选法． 3．答案　675　解析　方法一　CC＋CCC＋CCC＋CCC＝675(种) 方法二　CCC＋CCC＋CCC＝675(种) 4．6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人