专题19 解析几何中的抛物线问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题19　解析几何中的抛物线问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则(　　) A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　D． 1．答案　B　解析　由题意得，，则，即点A到准线的距离为2，所以点A的 横坐标为，不妨设点A在x轴上方，代入得，，所以．故选B． 2．(2022·新高考Ⅰ) 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于P，Q两点，则(　　) A．C的准线为　　　　　　　　　　　B．直线AB与C相切 C．　　　　　　　　　　D． 2．答案　BCD 　解析　将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为 ，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确； 因，，所以，而，故D正确．故选BCD． 3．(2022·新高考Ⅱ) 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点， 其中A在第一象限，点，若，则(　　) A．直线的斜率为　　　　　　　　B． C．　　　　　　　　　　　　D． 3．答案　ACD　解析　 对于A，易得，由可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线AB的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确．故选ACD． 【知识总结】 1．抛物线的概念 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹． (2)焦点：点F叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【题型突破】 题型一　抛物线的标准方程 1．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程 为(　　) A．y2＝x　　　　　　B．y2＝2x　　　　　　C．y2＝4x　　　　　　D．y2＝8x 1．答案　B　解析　由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据 抛物线的定义可得＝，∴p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x．故选B． 2．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|， 且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　) A．y2＝9x　　　　　　B．y2＝6x　　　　　　C．y2＝3x　　　　　　D．y2＝x 2．答案　C　解析　法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设＝a，则 由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵＝|AF|＝3，＝3＋3a，∴2＝，即3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3．∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C． 　　　　　　　　 法二：由法一可知∠CBD＝60°，则由|AF|＝＝3，可知p＝3＝，∴2p＝3，∴抛物线的标准方程为y2＝3x. 3．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝，则抛 物线C2的方程为____________． 3．答案　y2＝x　解析　由题意，知圆C1与抛物线C2的一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)．因 为|AB|＝，所以解得即A．将点A的坐标代入抛物线方程得＝2p×，所以p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x． 4．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点， 若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝9x 　　　　　B．y2＝8x　　　　　C．y2＝3x 　　　　　D．y2＝x 4．答案　y2＝8x　解析　将双曲线方程化为标准方程得－＝1，联立⇒x＝3a，即点P 的横坐标为3a．而由⇒|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的方程为y2＝8x． 5．抛物线C1：y＝x2(p