专题18 解析几何中的双曲线问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题18　解析几何中的双曲线问题 【高考真题】 1．(2022·北京) 已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 1．答案　　解析　对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则， ，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为． 2．(2022·全国甲理) 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 2．答案　　解析　双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆 ，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为． 3．(2022·全国甲文) 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无 公共点”的e的一个值______________． 3．答案　2（满足皆可）　解析　，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”，所以，又因为，所以，故答案为2（满足皆可） 4．(2022·全国乙理) 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C 的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 4．答案　C　解析　依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过作圆D的切线切点为G，所以， 因为，所以N在双曲线的右支，所以，，，设，，由，即，则，，，在中，，由正弦定理得，所以，，又，所以，即，所以双曲线的离心率．故选C． 5．(2022·浙江) 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________． 5．答案　　解析　过且斜率为的直线，渐近线，联立， 得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率．故答案为． 【知识总结】 1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)． (3)焦点：两个定点F1，F2． (4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 【题型突破】 题型一　双曲线的标准方程 1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1 有公共焦点，则C的方程为(　　) A．－＝1　　　　　B．－＝1　　　　　C．－＝1　　　　　D．－＝1 1．答案　B　解析　由y＝x可得＝，①．由椭圆＋＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a2＋ b2＝9，②．由①②可得a2＝4，b2＝5．所以C的方程为－＝1．故选B． 2．(2016·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂 直，则双曲线的方程为(　　) A．－y2＝1　　　　B．x2－＝1　　　　C．－＝1　　　　D．－＝1 2．答案　A　解析　依题意得＝，①，又a2＋b2＝c2＝5，②，联立①②得a＝2，b＝1．∴所求双曲线 的方程为－y2＝1． 3．(2018·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1　　　　　B．－＝1　　　　　C．－＝1　　　　　D．－＝1 3．答案　C　解析　因为双曲线的离心率为2，所以＝2，c＝2a，b＝a，不妨令A(2a,3a)，B(2a，－3a)， 双曲线其中一条渐近线方程为y＝x，所以d1＝＝，d2＝＝；依题意得：＋＝6，解得：a＝，b＝3，所以双曲线方程为：－＝1． 4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边 三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 　　　　　B．－＝1　　　　　C．－y2＝1　　　　　D．x2－＝1 4．答案　D　解析　根据题意画出草图如图所