专题17 解析几何中的椭圆问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题17　解析几何中的椭圆问题 【高考真题】 1．(2022·全国甲文) 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为 C的上顶点．若，则C的方程为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 1．答案　B　解析　因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点， 则，B为上顶点，所以，所以，因为，所以，将代入，解得，故椭圆的方程为．故选B． 2．(2022·全国甲理) 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若 直线的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 2．答案　A　解析　，设，则，则， 故，又，则， 所以，即，所以椭圆的离心率．故选A． 3．(2022·新高考Ⅰ) 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过 且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 3．答案　13　解析　∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为 ，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴ ， 得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为．故答案为13． 4．(2022·新高考Ⅱ) 已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M， N两点，且，则l的方程为___________． 4．答案　　解析　令的中点为，因为，所以，设， ，则，，所以，即,所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或(舍去)，又，即，解得或(舍去)，所以直线，即； 故答案为． 【知识总结】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． (2)焦点：两个定点F1，F2． (3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【题型突破】 题型一　椭圆的标准方程 1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方 程为(　　) A．＋＝1　　　　　B．＋＝1　　　　　C．＋y2＝1　　　　　D．＋＝1 1．答案　D　解析　依题意椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为得＝，椭圆C的长轴长与焦距之和为 6,2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，则b＝，所以椭圆C的标准方程为：＋＝1，故选D． 2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差 数列，则椭圆的方程为(　　) A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1 2．答案　A　解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由点P(2，)在椭圆上，知＋＝1．又|PF1|， |F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆的方程为＋＝1． 3．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF| ＝6，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1　　　　B．＋＝1　　　　C．＋＝1　　　　D．＋＝1 3．答案　C　解析　由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO， ∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C． 4．(2013·全国Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3