专题16 解析几何中的圆问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题16　解析几何中的圆问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 1．答案　或或或 解析　依题意设圆的方程为，若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或； 2．(2022·全国甲文) 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 _____________． 2．答案　　解析　∵点M在直线上，∴设点M为，又因为 点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为．故答案为． 3．(2022·北京) 若直线是圆的一条对称轴，则(　　) A．　　　　　　　　B　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D． 3．答案　 A　解析　由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即， 解得．故选A． 4．(2022·新高考Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 4．答案　或或　解析　圆的圆心为，半径为1，圆 的圆心为，半径为4，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为，O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为或或． 5．(2022·新高考Ⅱ) 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共 点，则a的取值范围是________． 5．答案　　解析　关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线l，所以直线l为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线l的距离，即，解得，即；故答案为． 【知识总结】 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方 程 标 准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一 般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2．点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 3．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 4．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 5．直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2． (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·． 【题型突破】 题型一　圆的方程 1．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1　　　　　　　　　　　B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1　　　　　　　　　　　D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 1．答案　C　解析　到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立 解得又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1． 2．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为(　　) A．2＋y2＝　　　　　　　　　　　　B．2＋y2＝ C．2＋y2＝　　　　　　　　　　　　D．2＋y2＝ 2．答案　C　解析　方法一　(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即2＋y2＝． 方法二　(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．由题意知圆E的圆心在x轴上，所以圆E的圆心坐标为．则圆E的半径为|EB|＝＝，