专题15 立体几何中球的问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题15　立体几何中球的问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 1．答案　A　解析　设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即 ，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选A． 2．(2022·全国乙理) 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当 该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 2．答案　C　解析　设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD 对角线夹角为，则(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)，即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，又，则当且仅当即时等号成立，故选C． 3．(2022·新高考Ⅰ) 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A．[18，]　　　　　B．[，]　　　　　C．[，]　　　　　D．[18，27] 3．答案　C　解析　∵ 球的体积为36π，所以球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则 l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h)2．所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h＝×(l2－)×＝(l4－)，所以V′＝(4l3－)＝l3 ()，当3≤l≤2时，V′＞0，当2≤l≤3时，V′＜0，所以当l＝2时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为，又l＝3时，V＝，l＝3时， V＝．所以正四棱锥的体积V的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是[，]．故选C． 【方法总结】 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． 球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径． 空间几何体的外接球与内切球十大模型 1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型． 可参考：侯永青工作室《2022年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破》 【题型突破】 1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的 表面积为(　　) A．7π　　　　　　　B．14π　　　　　　　C．π　　　　　　　D． 1．答案　B　解析　三棱锥A－BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角 线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是＝，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π×＝14π． 2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则三棱 锥B－ACD的外接球的表面积为(　　) A．5π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．10π　　　　　　　　D．34π 2．答案　D　解析　依题意，在三棱锥B－ACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD＝CD＝3， 因此可将三棱锥B­ACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R＝＝，故三棱锥B－ACD的外接球的表面积为4πR2＝34π 3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体 积等于________. 3．答案　π　解析　如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R， 则正方体的体对角线长即为球O的直径．∴CD＝＝2R，因此R＝，故球O的体积V＝＝π. 4．已知四面体P－ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥