专题14 立体几何中的计算问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题14　立体几何中的计算问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅰ)已知正方体，则(　　) A．直线与所成的角为　　　　　　　　　B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为　　　　　D．直线与平面ABCD所成的角为 1．答案　ABD 　解析　如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线 与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为1，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确。故选ABD． 2．(2022·全国甲理)在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为， 则(　　) A．　　　　　　　　　 　　　B．AB与平面所成的角为 C．　　　　　　　　　　　　　D．与平面所成的角为 2．答案　D　解析　如图所示： 不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．对于A，，，，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选D． 3．(2022·浙江) 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与 所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 3．答案　A　解析　如图所示，过点作于，过作于，连接， 则，，，，，，所以，故选A． 4．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 4．答案　A　解析　设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即 ，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选A． 5．(2022·北京) 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 5．答案　B　解析　 设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故．因为，故，故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为O，半径为，故S的轨迹圆在三角形内部，故其面积为．故选B． 6．(2022·全国甲理)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和， 体积分别为和．若，则(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 6．答案　D　解析　设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则， 所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高，所以．故选C． 7．(2022·新高考Ⅱ)如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥 ，，的体积分别为，则(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 7．答案　CD　解析　 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确．故选CD． 8．(2022·全国乙理) 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当 该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 8．答案　C　解析　设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD 对角线夹角为，则(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)，即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，又，则当且仅当即时等号成立，故选C． 9．(2022·新高考Ⅰ) 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A．[18，]　　　　　B．[，]　　　　　C．[，]　　　　　D．[18，27] 9．答案　C　解析　∵ 球的体积为36π，所以球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则 l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h)2．所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h＝×(l2－)×＝(l4－)，所以V′＝(4l3－)＝l3 ()，当3≤l≤2时，V′＞0，当2≤l≤3时，V′＜0，所以当l＝2时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为，又l＝3时，V＝，l＝3时， V＝．所以正四棱锥的体积