专题13 立体几何中的位置关系及截面问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题13　立体几何中的位置关系及截面问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 在正方体中，E，F分别为的中点，则(　　) A．平面平面　　　　　　　　B．平面平面 C．平面平面　　　　　　　　D．平面平面 1．答案　A　解析　在正方体中，且平面，又平面， 所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，， 设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选A． 【知识总结】 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α． (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b． (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β． (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b． 平行问题的转化 利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用． 平行关系的基础是线线平行，证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线段的比例关系证明线线平行；五是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换． 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α． (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b． (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β． (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β． 垂直问题的转化 在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题． 垂直关系的基础是线线垂直，证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a． 3．确定截面的主要依据 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． (1)平面的四个公理及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质． 【题型突破】 题型一　简单位置关系的判断 1．(2020·浙江)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两 相交”的(　　) A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充分必要条件　D．既不充分也不必要条件 1．答案　B　解析　依题意m，n，l是空间中不过同一点的三条直线，当m，n，l在同一平面时，可能有 m∥n∥l，故不能得出m，n，l两两相交．当m，n，l两两相交时，设m∩n＝A，m∩l＝B，n∩l＝C，则m，n确定一个平面α，而B∈m⊂α，C∈n⊂α，所以直线BC即l⊂α，所以m，n，l在同一平面．综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件．故选B． 2．(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行　　　　　　　B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线　　　　　　　　　D．α，β垂直于同一平面 2．答案　B　解析　若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线， 则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此，B中条件是α∥β的充要条件．故选B． 3．已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题： ①若b⊂α，a⊄α，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件； ②若a⊂α，b⊂α，则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要条件． 判断正确的是(　　) A．①②都是真命题