专题12 数列综合问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题12　数列综合问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行 的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 1．答案　D　解析　因为，所以，，得到，同理 ，可得，，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确．故选D． 2．(2022·北京) 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个 结论：①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 2．答案　①③④　解析　由题意可知，，，当时，，可得；当时， 由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对．故答案为①③④． 3．(2022·浙江) 已知数列满足，则(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．答案　B　解析　∵，易得，依次类推可得，由题意，， 即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，，又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选B． 【题型突破】 题型一　数列求和 1．若数列的前n项和为，则n的值为(　　) A．9　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．11　　　　　　　　D．12 1．答案　B　解析　∵＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝1－＝ ，由＝可知n＝10．故选B． 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列{}的前10项和为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 2．答案　B　解析　设等差数列{an}的公差为d，由a9＝a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12， 又a2＝4，∴a1＝2，d＝2，∴Sn＝n2＋n，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝．选B． 3．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为________． 3．答案　　解析　因为an＝＝，所以bn＝＝8．所以b1＋b2＋…＋bn＝ 8＝． 4．已知数列{an}满足：an＋1＝an(1－2an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝an·an＋1，则数列{bn}的前2 017项 的和S2 017＝________． 4．答案　　解析　由an＋1＝an(1－2an＋1)，可得－＝2，所以数列是首项为1，公差为2的 等差数列，故＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝．又bn＝an·an＋1＝＝，所以S2 017＝＝×＝． 5．在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，则数列的前n项和为(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 5．答案　C　解析　因为a3＋a5＋a7＝6，所以3a5＝6，a5＝2，又a11＝8，所以等差数列{an}的公差d＝ ＝1，所以an＝a5＋(n－5)d＝n－3，所以＝＝－，因此数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选C． 6．设数列{(n2＋n)an}是等比数列，且a1＝，a2＝，则数列{3nan}的前15项和为________． 6．答案　　解析　等比数列{(n2＋n)an}的首项为2a1＝，第二项为6a2＝，故公比为，所以(n2＋n)an ＝·＝，所以an＝，则3nan＝＝－，其前n项和为1－，n＝15时，为1－＝． 7．已知数列{an}满足：an＋1＝an(1－2an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝an·an＋1，则数列{bn}的前2 017项 的和S2 022＝________． 7．答案　　解析　由an＋1＝an(1－2an＋1)，可得－＝2，所以数列是首项为1，公差为2的等 差数列，故＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝．又bn＝an·an＋1＝＝，所以S2 022＝＝×＝． 8．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列的前n项和为Sn，则 S1·S2·S3·…·S10＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 8．答案　C　解析　∵2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，∴2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)，两式相 减得2nan＝1(n≥2)，a1＝也满足上式，故an＝，故＝＝－，Sn＝＋＋…＋＝1－＝，∴S1·S2·S3·…·S10＝×××…××＝，故选C