专题11 等差数列与等比数列问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题11　等差数列与等比数列问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 已知等比数列的前3项和为168，，则(　　) A．14　　　　　　　　B．12　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．3 1．答案　D　解析　设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以， 则，解得，所以．故选：D． 2．(2022·全国乙文) 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 2．答案　2　解析　由可得，化简得，即 ，解得． 【知识总结】 1．等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. (3)等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d； (4)等比数列的求和公式：Sn＝ 2．等差数列、等比数列的性质 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a. 2．前n项和的性质： 对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)． 【题型突破】 题型一　等差数列基本量的计算 1．(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．8 1．答案　C　解析　设等差数列{an}的公差为d，则由得 即解得d＝4． 2．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A．－12　　　　　　　　B．－10　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．12 2．答案　B　解析　由3S3＝S2＋S4，得：3(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a1＋a2＋a3＋a4，∴a1＋a2＋2a3＝a4，设 公差为d，则4a1＋5d＝a1＋3d，∴d＝－a1＝－3．∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10． 3．(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　) A．8　　　　　　　　　B．10　　　　　　　　　C．12　　　　　　　　　D．14 3．答案　C　解析　由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2 ＝12，故选C． 4．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　) A．100　　　　　　　　B．99　　　　　　　　C．98　　　　　　　　D．97 4．答案　C　解析　设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝ a1＋99d＝－1＋99＝98． 5．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D． 5．答案　B　解析　令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，所以{bn}为等差数列，因为b1＝1，b2＝4，所 以公差d＝3，则bn＝3n－2，所以b18＝52，则18a18＝52，所以a18＝． 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________． 6．答案　30　解析　法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得 解得所以S6＝6a1＋15d＝30． 法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12可得解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30． 7．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 7．答案　25　解析　设等差数列{an}的公差为d，由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－2 ＋d＋(－2)＋5d＝2，解得d＝1．所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25． 8．(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ________． 8．答案　3n2－2n　解析　设bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝＝ ＝＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*．故Sn＝×n＝3n2－2n． 9．(2013·全国Ⅰ)设等差数列{an}