考点03 导数及其应用【亮点讲】-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（全国通用）

【过高考】2023年高考大一轮单元复习 考点03 导数及其应用【亮点讲】-【过高考】2023年高考 数学大一轮单元复习课件与检测 知识回顾 一、导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0， 即f′(x0)＝ ＝ . 2、函数f(x)的导函数f′(x)：f′(x)＝ . 提醒：函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 典例1、在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2. 解析：－9.8t＋6.5　－9.8　[v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.] 二、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 提醒：(1)瞬时速度是位移函数S(t)关于时间的导数． (2)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (3)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条． 典例2、已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析：C　[由导数的几何意义知，0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选C.] 三、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝(a＞0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 典例3、下列各式正确的是(　　) A．′＝cos　　　B．(cos x)′＝sin x C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－5x－6 解析：CD　[对于A，′＝0，故A错误；对于B，(cos x)′＝－sin x，故B错误；对于C，(sin x)′＝cos x，故C正确；对于D，(x－5)′＝－5x－6，故D正确．] 四、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)＝(g(x)≠0)． 典例4、求下列函数的导数． （1）y＝x2sin x； (2)y＝； [解析]　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝′＝＝＝－. 五、函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导. f′(x)>0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 1、利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间． 常用结论 1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．(2)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点(例如y＝|x|在