8.3 简单几何体的表面积与体积-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第八章立体几何初步甜 8.3简单几何体的表面积与体积 重点和难点 课标要求 重点：柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式。 知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的 难点：球的体积公式的推导 计算公式，能用公式解决简单的实际问题 1B1IB10B1111001111111001011100101101111011101311100101011 必备知识梳理 11ABNAA1111A11111111111111111111101111111111111110101111111111111011111118111 基础梳理 知识点(1】 柱体、锥体、台体的表面积 几何体及其侧面展图 面积公式 A A B S侧=ch(c为底面周长，h为 直棱柱 侧棱长)； S表=S侧十2S底 B 多面体 Sw=2k'c为底面周长，M (三种 特例) 正棱锥 为斜高，即侧面等腰三角形底 边上的高)； S表=S侧十S底 1 S侧=2(c+c)h'(c',c分别 正棱台 为上、下底面周长，h'为斜高， 敲黑板⊙ 即侧面等腰梯形的高)； 1.圆柱可以看作上、下底面 S表=S侧十S上底十S下底 半径相等的圆台，圆锥可以看作 S底=πr2,S侧=2πrl,S表= 上底面半径为0的特殊圆台。 程 2πr(r十l). 其中，r为底面半径，l为母 2.圆台的表面积=πr?十 2元r 线长 π2十πl(r'十r),取两种特殊情 况，即当r'=r和r’=0时可得： S底=r2,S侧=l,S表=r(r 圆柱的表面积=2πr2十2πrl,圆 圆 十).◆敲黑板 旋转体 其中，r为底面半径，1为母 锥的表面积=πr2十πrl. 2元 线长 结论：底面半径相同且母线 28 长相同的情况下，圆柱的表面积 2πr S上底=2，S下底=元r2,S侧= 是圆锥的2倍 πl(r'+r),S表=π(r2+r2十 圆 r'l+rl). 2π 其中，x',r分别为上、下底面 .O 半径，l为母线长 117 重难点手册高中数学必修第二册RJA。 知识点2柱体、锥体、台体的体积 1.柱体、锥体、台体的高 敲黑板⊙ (1)如图，柱体的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任 棱柱、棱锥、棱台的体积 意一点向另一底面作垂线，该点与垂足之间的距离.圆柱的母线即 之间的关系（如图）》 圆柱的高.特别地，直棱柱的侧棱长就是高 上底面缩小 上底面缩小 柱 台 为一个点锥 (如长方体) 上底面扩大 顶点扩展为体 到与下底面 与底面平行 全等 且相似但不 全等的上底 0-00-④6 (2)如图，锥体的高是指锥体的顶点到底面之间的距离. V#=子h(S+SS+S) <S= S'=0 Vna-Sh Vaw-Sh (3)如图，台体的高是指两个底面之间的距离. 划重点西 棱柱与棱锥的体积 之间的关系 一个三棱柱可以分解成三个 2.柱体、锥体、台体的体积·敲黑板) 体积相等的三棱锥，如图所示 几何体 体积公式 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高)， 柱体 V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高) V维体= 3Sh(S为底面面积，h为高)，◆题重意 锥体 1 V圆锥= 3h(,为底面半径，h为高) 结论：棱锥的体积等于同底 V体=3五(S'+VSS+S)(S,S分别为上、下底面面积，h为高)， 1 等高的棱柱体积的 1 台体 V國台一 3h(,2++r2)(,',r分别为上、下底面半径，h为高) 知识点3 球的体积和表面积 1.球的体积公式及推导方法 划重点 （1)球的体积公式：V-专R(其中R为球的半径).→国国 1.从公式中看，球的体积和 表面积的大小只与球的半径相 (2)球的体积公式的推导 关，给定R都有唯一确定的V 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之 和S与之对应，故体积和表面积 是关于R的函数.根据此函数 间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得 关系，已知球的半径可求出球的 的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等.由祖 118 第八章立体几何初步 堩原理知，半球与一个拥有与半球体相同横截面积和高的几何体 体积或表面积，已知球的体积或 的体积相等，即半球与圆柱体中间挖去一个圆锥所得几何体的体 表面积可求出球的半径 积相等 2.球的表面是曲面，不能在 一个平面上展开，即使是球面上 如图，S圆=πr2=π(R2一12)，S圆环=π(R2-12), 任意小的一块，也不能在一个平 ∴.S圆=S圆环， 面上展开，因此球没有展开图. 2y#=RR 3R2·R= 3πR3, V球= 3R. 半径为R的半球底面半径和高都为R的圆柱 挖 去 个 圆 敲黑板⊙ 1.球的体积之比为其半径 2.球的表面积公式及推导方法 之比的立方. (1)球的表面积公式：S球=4R2(其中R为球的半径). 2.已知球的体积可求出球 (2)球的表面积公式的推导 的表面积，已知球的表面积可求 如图，R=V#=RS,十 出球的体积 RS球面， 3.球的表面积之比为其半 ∴.S球面一4元R2.◆敲黑板 径之比的平方. 4.球的表面积恰好是球的 大圆（过球心的平面截球面所得 的圆)面积的4倍. 重难拓展 划重点 重难点(1几何体与球的切、接问题 1.解决与球有关的外接、内 1.简单多面体的外接球问题 切问题的关键 简单多面体的外接球问题是常考题.由于需要较强的直观想 (1)确定球心位置 象能力，所以是考试的难点，突破难点需要抓住“球心定位置，半径 (2)构造直角三角形，确定 定大小”原则，解题关键在于确定球心位置.◆划重点 球的半径 即球心定位置，半径定大小 (1)由球的定义确定球心 2.球与多面体 若一个简单多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个 (1)多面体的外接球：多面 简单多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个简单多面体的 体的顶点均在球面上；球心到各 外接球.也就是说，如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的 个顶点的距离相等（球半径） 距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心.深刻 (2)多面体的内切球：多面 理解球的定义，可以得到简单多面体外接球的一些常见结论： 体的各面均与球面相切；球心到 ①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 各面的距离相等（球半径） 119 重难点手册高中数学必修第二册RJA ②正棱柱外接球的球心是上、下底面中心连线的中点， 3.球与旋转体 (2)构造长方体或正方体确定球心 (1)旋转体的外接球：旋转 体的顶，点在球面上；底面为球的 ①相对的棱相等的三棱锥，可补形成长方体 截面；球心在旋转轴上 (特殊地，正四面体可补形成正方体) ②同一个顶点上的三条棱两两垂直的三棱锥或四棱锥、四个 (2)旋转体的内切球：旋转 体的各面均与球面相切；球心在 面都是直角三角形的三棱锥，可补形成长方体或正方体， 旋转轴上 ③若已知三棱锥或四棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补 拓视野⊙ 形成长方体或正方体. 正方体与球的切、接问题 (3)由性质确定球心 设正方体棱长为a,球的半 利用球心O与截面圆圆心O'的连线垂直于截面圆及球心O 径为R.正方体棱长为a时，面 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 对角线长为√2a,体对角线长 2.常见的外接球问题模型 为√3a. (1)长方体（正方体）模型 (1)当球为正方体的内切球 时，切点为正方体各个面的中 如图1，球心位置：长方体体对角线的中点， 心，如图1，球的直径与棱长相 半径计算公式：2R=√a2+b2十c2(R为长方体外接球的半 等，即2R=aR=2 径，a,b,c分别为长方体的长、宽、高) (2)当球与正方体的各棱相 长方体的外接球 切时，如图2，球的直径与面对 B D 角线长相等，即2R=√2a,R= 对角面 2R- a1+b2+ a 2· (3)当球为正方体的外接球 D 图1 时，如图3，球的直径与体对角 如图2，球心位置：正方体体对角线的中点. 线长相等，即2R=√3a,R= 3a 半径计算公式：2R=√3a(R为正方体外接球的半径，a为正 2 方体的棱长).◆拓视野。 [总结]对于正方体，内切 正方体的外接球 球半径：棱切球半径：外接球 半径=1：√2：√3. 对角面 2R=3a 0 2R 图1 图2 图2 V2 a (2)棱锥（圆锥）模型 ①h>R. 以三棱锥为例，如图3，图中的三个三棱锥（底面的三角形形 图3 状不同)都内接于圆锥，同时三个三棱锥与圆锥都内接于球 120 第八章立体几何初步_ P 图3 设外接球的半径为R,O1P=h(h>R),O1A=r,则OA=R. 敲黑板) 在Rt△OO1A中，OA2=O1A2+OO→R2=r2+(h-R)2, 对于正棱锥，b为侧棱长，h 即R=r2十h2 为高，x2=b2-h2,则(h-R)2+ 2h. ◆敲黑板。 62-h2=R2→R=2 ②h<R. 由图3我们还可以延伸出以下图形（如图4） 图4 同理，在Rt△OO1A中，OA2=OO+O1A2→R2=(R-h)2 十r2,即R=2+2 2h 注意：此处运用勾股定理有所不同，但结果与h>R时相同， 故无须提前判断棱维在球内的位置 (3)直棱柱（圆柱）模型 如图5，球心位置：上、下底面外接圆圆心连线中点处 半径计算公式：R2=r2+( )(R为外接球的半径，r为底面 可根据正孩定理ABC=2,米求解 b 外接圆的半径，h为棱柱的高，a,b,c分别为△ABC内角A,B,C 的对边)· h R B 图5 121 重难点手册高中数学必修第二册RJA。 3.简单多面体的内切球问题·敲黑板。 敲黑板⊙ 途径一：利用内切球的定义直接找球心和半径； 因为几何体的内切球必须 示例：如图1，球O是圆锥的内切球，则球O与底面的切点M 与几何体的每一个面都相切，所 是圆锥底面圆的圆心.在轴截面中，△AMC,△OMC,△ONC, 以不是每个几何体都有内切球. △ANO都是直角三角形，且△ANO∽△AMC,△ONC≌△OMC. 同理，也不是每个几何体都有外 接球，但三棱锥一定有内切球和 母线 外接球（四个不共面的点确定一 个球) 画出轴截面 (拆面降维) B 图1 途径二：利用等体积直接来求半径（球内切于多面体，则球心 到各个面的距离相等). 示例：如图2，设△PAB,△PAC,△PBC,△ABC的面积分 别为S1,S2,S3,S4,棱锥内切球球心为O,半径为R,则 Vp-ABC-Vo-PAB+Vo-PAC+Vo-PHC+Vo-ARC-SR+SzR +S,R+3SR=3RS,+s,+5,+S, (球心到各面的距离都等于球的半径) 则R二33，S+S即R=g(V是几何体的体积，S是 几何体的表面积).此公式适用于所有的锥体，称为锥体内切球的 万能公式. B 图2 例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD,O为对角 线AC与BD的交点，若PB=1,∠APB= 39 则三棱锥P-AOB的外接球的体积是 解析，底面ABCD为菱形，O为对角线AC与BD的交点， ..BD AC. 又.PB⊥底面ABCD,∴.PB⊥AC 122 第八章立体几何初步_锥 BD∩PB=B,AC⊥平面PBD, .AC⊥PO,.△PAO为直角三角形. 又，△PBA是直角三角形， 公共斜边PA的中点即为球心 PB=1,∠APB= 3, .PA=2=2R(R为三棱锥P-AOB外接球的半径)，.R=1. 故三棱锥P-AOB的外接球的体积是 3πX13-4 π. 苔案有 重难点②求几何体体积的常用方法 1.公式法：直接代入公式求解 2.等体积法：类比于三角形中的等面积法 适用于四面体（三棱锥），如图所示，四面体的任何一个面都可 以作为底面，选用底面积和高都易求的面来求四面体的体积即可. 3.补形法 将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成 四棱柱等 4.分割法 将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积 例2如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1上一 支妙招画 点，已知BM=2,CD=3,AD=4,AA1=5,求三棱锥A-A1MC的 本题可以考虑等体积法，换 体积. 底换高，以达到简化求解的目的。 由于V三技袋AAMC=V三技CAM1, B 求三棱锥的体积可以转化为求 以△AMA1为底面，以，点C到 平面AMA,的距离（即BC的 M 长)为高的三棱锥的体积 B 解析因为BM=2,CD=3,AD=4,AA1=5, 所以Sm=X5X3-只点C到平西AA,的距离为4， 1 所以V三技像AA,Mc=V三发钟CAM!=3·S△AMA1·4=10.◆支0招 123 重难点手册高中数学必修第二册RJA 关键能力提升 11B11111011111111111111111111111111111111111111111111111111111101110111111 题型(1 简单几何体侧面积与表面积的 求解问题 1.柱体的侧面积与表面积的求解 例3用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷 成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积为() S制=2S底， 23a·'=3 a'X2 A.2 cm2 ∴a=√3h' B64 .SO OE,..SO2+OE2=SE2. cm ”π 12 c2+）em2或32+ 2 .h'=23,∴.a=3h'=6. D.16πcm 解析有两种不同的卷法：①以矩形8cm的边长 ae-×6-8,S=254=188. 4 (横向卷和纵向卷) 为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为 .S表=S侧十S底=183+9V3=27W3, ,此时底面周长为2w=4,得r=名，则两底面的面 例⑤(2025·辽宁部分学校联考)如图1， 圆锥的母线长为4，M为母线AB的中点，从点 cm.又因为S=32cm2,所2 M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周到达点 桂的表面和为(32+）m.②以矩形4cm的边长 B,这条绳子的最短长度为2√5，则此圆锥的表 面积为( 为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为 r,此时底面周长为2πr=8,得r'=4 ,则两底面面 之和为cm.又因为S侧=32cm2,所以此时该 图1 柱的袁面积为2+) cm2. A.4π B.5π C.6π D.8π 答案C 解析将圆锥侧面展开成一个扇形，如图2所示. 2.锥体的侧面积与表面积的求解 设圆锥的底面半径为r,因为母线长为4，所以侧 例④(2025·湖北黄冈调考)如图，设正 面展开图扇形的国心角a-2-受，BM的长度即 4 三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正 为绳子的最短长度.在△ABM中， 三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的表面积. 解析如图，设正三棱锥的底面边长为α，斜高为 B'M=√42+2-2X4X2Xcos 2 h',过点O作OE⊥AB,与AB交于点E,连接SE,则 =/20-16cos πr SE⊥AB,SE=h' =25, 124 第八章立体几何初步 则c0s受=0，所以r=1,所以圆维的表面积S= 绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中 (注意r≠3，当r=3时，扇形的國心角>T,B'M的长度不 有一种金属陀螺，它的形状可以看作上半部分 是绳子的最短长废) 为圆柱，下半部分为倒置的圆锥的组合体，如 π×12+π×1×4=5元.故选B. 图所示.现知尖底长(PO)为3，柱体与锥体部 分高之比为2：1，底面周长为2π则陀螺的表 面积为( B 图2 答案B 3.台体的侧面积与表面积的求解 B.6π 例⑥(2025·江苏淮安四校联考)“斗”不 仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具， c6+2}x D.(W2+5)元 如图所示，其可近似看作正四棱台，上底面是 解析由题意可知，OO1=2,O1P=1,令AO= 边长为6dm的正方形，下底面是边长为2dm BO1=r,因为底面圆的周长为2π，所以2πr=2π，得r 的正方形，高为4dm.“斗”的面的厚度忽略不 =1,所以圆锥的母线1=√1十1=√2，所以圆锥的侧 计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面 面积为πrl=πX1X√2=√2π，圆柱的表面积为πr2十 的面积之比为( 2πX2=5π，故陀螺的表面积为√2π十5π=(W2十5)π. 答案D 方法总结 求柱体（棱柱、圆柱）的侧面积 A.8V5 B.16 与表面积的方法 C.25 D.4 1.求棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义 解析由题意可知，四棱台的侧面均为等腰梯形， 法，即利用侧面积为各侧面面积之和来求解；二是公 式法，即直接用公式求解。 则共斜高为，√4+[×6-2)】 =2√5(dm),所以 2.求圆柱的表面积只需利用公式求解：S圆柱侧 =2πh,S周柱底=πr2,S围柱=S周柱侧十2S周栏底=2πrh “斗”的所有侧面的面积之和为S1=4X2×(6十2)× +2πr2=2πr(h十r),其中r为圆柱底面的半径，h 2v5=32√5(dm2),下底面的面积为S2=4(dm2),所 为圆柱的母线长。 2-85, 题型(2简单几何体体积的求解问题 答案A 1.柱体体积的求解 4.简单组合体的表面积的求解 例⑧(2025·浙江宁波调考)一个正方体 例7[新情境](2025·宁夏银川模拟)陀 和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正 螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种方体和圆柱的体积之比为 125 重难点手册高中数学必修第二册RJA 解析由于正方体和圆柱等高，故可设正方体的 棱长和圆柱的高都为a,设圆柱的底面半径为r, 答案 36a3. 则正方体的侧面积为4a2,圆柱的侧面积为 3.台体体积的求解 2πra, 例10(2025·福建师大附中单元检测)已 又因为4a2=2xa,所以7=2a, 知一个圆台上底面的半径为2，下底面的半径 π 为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的 所以正方体的体积为V正方体=Q3,圆柱的体积为 体积为 Vg粒=r2a=4。 V玉方体一不 方a3,故V柱4·】 解析作出圆台的轴截面，如图，设圆台的高为h, 答案牙 则子-6。产，所以h=2,所以圆台的体银V-了x(e 6 2.锥体体积的求解 +2×3+32)×2= 38 3元 例⑨(2025·黑龙江哈尔滨调研)如图1， 三棱锥S-ABC的各个面都是边长为a的等边 6-h 三角形，点D是SA的中点，点E是BC的中 点，则△SDE绕SE所在直线旋转一周所得旋 转体的体积为 答案38 元. 变式①[新情境]某款厨房用具中的香料 收纳罐的直观图如图所示，该几何体为上、下 底面周长分别为36cm,28cm的正四棱台，若 棱台的高为3cm,忽略收纳罐的厚度，则该香 B 图1 图2 料收纳罐的容积为( 解析如图2，连接AE. :△SBC和△ABC都是边长为a的等边三角 形，且SE,AE分别是它们的中线， .'.SE=AE, △SAE是等腰三角形. B.193cm3 由点D是SA的中点知DELSA,SE= 2a, C.148cm3 D.386cm3 4.简单组合体的体积求解 DE-VSE-SD:_ 2a. 例1I如图1，在多面体ABCDEF中，已 作DF⊥SE,垂足为F,由DF·SE=SD·DE 知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB, a.√2 EF=2,EF到平面ABCD的距离为3，求该多 得DF=SD:DE_2`2V 6a. 面体的体积. SE a ■ D 视频微课 图1 126