2.2 充分条件、必要条件、充要条件-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第一册）

2.2 充分条件、必要条件、充要条件 【知识点梳理】 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若，， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 【题型归纳目录】 题型一：充分条件与必要条件的判断 题型二：根据充分条件求参数取值范围 题型三：根据必要条件求参数取值范围 题型四：根据充要条件求参数取值范围 题型五：充要条件的证明 【典型例题】 题型一：充分条件与必要条件的判断 例1．（2022·江苏·高邮市第一中学高二期末）已知，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】对于不等式，可解得或． 所以可以推出，而不可以推出． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 例2．（2022·浙江·效实中学高二期中）已知a，，那么“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解：若，因为，所以，即充分性成立； 由推不出，如，，满足， 此时，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件； 故选：A 例3．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是； 对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是； 对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是； 对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是． 故选：C 例4．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）下列选项中，“”成立的一个必要不充分条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：“”能推出“”，但“”不能推出“”，故A满足题意； “”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；B不正确． “”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意；C不正确． “”能推出“”，且“”能推出“”，故是充要条件，不满足题意；D不正确； 故选：A． 例5．（2022·福建三明·高二期中）已知命题，命题，则p是q的（       ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由命题构成集合，由命题构成的集合为， 可得，所以命题是的必要不充分条件． 故选：B 例6．（2022·浙江金华·三模）已知实数a，b，，，则“”是“”（          ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则， 又，所以， 所以，充分性成立； 若，则， 左右同时平方可得，即，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C 例7．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知三条线段的长分别为a，b，c，若，则“”是“a，b，c为某三角形三边长”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充