1.5.1 全称量词与存在量词（学案）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 1、逻辑推理 2、数学抽象 【自主学习】 一 .全称量词与全称量词命题 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做___________，并用符号“______”表示． 2.全称量词命题：含有____________的命题，叫做全称量词命题． 3.全称量词命题的表述形式：全称量词命题 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__________________. 思考1：全称量词命题中是否一定含有全称量词？ 二.存在量词与存在量词命题 1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“______”表示． 2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做________________. 3.存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__________________. 思考2：短语“至多有一个”是存在量词吗? 【小试牛刀】 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　) (2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．(　　) (3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．(　　) (4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　 　) (5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( 　) 【经典例题】 题型一　全称量词命题与存在量词命题的辨析 点拨：全称量词命题与存在量词命题的判断 例1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (3)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点． 【跟踪训练】1 将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)实数的平方是非负数； (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根. 题型二 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 点拨：1．全称量词命题真假的判断 对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”： (1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立； (2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例) 2．存在量词命题真假的判断 对于存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”： (1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例) (2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立． 例2 判断下列全称量词命题的真假． (1)任意实数的平方均为正数． (2)函数y＝kx＋b为一次函数． (3)同弧所对的圆周角相等． (4)∀x∈R，x2＋3≥3. 　 【跟踪训练】2 判断下列存在量词命题的真假． (1)有的集合中不含有任何元素． (2)存在对角线不互相垂直的菱形． (3)有些整数只有两个正因数． 题型三 由含量词的命题求参数 点拨：解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围问题. 例3 已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围． 例3-变式 若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，即已知命题“∃1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围． 【跟踪训练】3 是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由． 【当堂达标】 1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A.有一个x∈R,使得x2>3 B.对有些x∈R,使得x2>3 C.任选一个x∈R,使得x2>3 D.至少有一个x∈R,使得x2>3 2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是(　　) A.有些实数没有倒数 B.矩形都有外接圆 C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D.∃x∈R，x2+x≤2 3.下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2>0 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 4.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④