1.5.1 全称量词与存在量词(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

!"#$%&'() ＲＪＡ * 点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本 节的难点． 　 　 典例５ （２０２２·江苏连云港高二检测） 已知ａｂ≠０，求证：ａ ＋ ｂ ＝ １的充要条件是ａ３ ＋ ｂ３ ＋ ａｂ － ａ２ － ｂ２ ＝ ０． 作答：　 　 ［归纳提升］　 充要条件的证明思路 （１）根据充要条件的定义，证明充要条件时 要从充分性和必要性两个方面分别证明： ①充分性：把ｐ当作已知条件，结合命题的 前提条件，推出ｑ； ②必要性：把ｑ当作已知条件，结合命题的 前提条件，推出ｐ． 解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结 论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是 先证明必要性则无硬性要求． （２）在证明过程中，若能保证每一步推理都 有等价性（），也可以直接证明充要性                      ． 课堂检测·固双基 １．若ａ，ｂ∈Ｒ，则“ａ ＝ ｂ”是“ａ２ ＝ ｂ２”的（Ａ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ２．“ｘ ＝ １”是“ｘ２ － ２ｘ ＋ １ ＝ ０”的 （Ａ ） Ａ．充要条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 ３．若“ｘ ＜ ａ”是“ｘ≥３或ｘ≤ － １”的充分不必要 条件，则ａ的取值范围是 （Ｂ ） Ａ． ａ≥３ Ｂ． ａ≤ － １ Ｃ． － １≤ａ≤３ Ｄ． ａ≤３ ４．若“ｘ ＞ ２”是“ｘ ＞ ｍ”的必要不充分条件，则ｍ 的取值范围是　 　 　 　 ． ５．求证：关于ｘ的方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０有一个根 为１的充要条件是ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ０． 请同学们认真完成练案［７］（Ａ本                      ） １． ５　 全称量词与存在量词 学习目标 核心素养 理解全称量词、存在量词的含义 数学抽象 掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断 逻辑推理 能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定 数学抽象 掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律 数学抽象 能够用全称量词命题和存在量词命题解决简单的数学问题 逻辑推理 !!"# 　 ０２３ +,-&./+01"234 第１课时　 全称量词与存在量词 必备知识·探新知 知识点１ 全称量词与全称量词命题 　 　 １．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在 逻辑中通常叫做　 全称量词，并用符号“　 ” 表示． ２．全称量词命题：含有　 全称量词的命题， 叫做全称量词命题． ３．全称量词命题的表述形式：全称量词命 题“对Ｍ中任意一个ｘ，ｐ（ｘ）成立”，可用符号简 记为　 ｘ∈Ｍ，ｐ（ｘ）． ４．全称量词命题的真假判断：要判断一个 全称量词命题是真命题，需要对集合Ｍ中的每 个元素ｘ，证明ｐ（ｘ）成立；但要判断一个全称量 词命题是假命题，只需列举出一个ｘ０∈Ｍ，使得 ｐ（ｘ０）不成立即可． 想一想：怎样判断一个命题是全称量词 命题？ 　 　 练一练： １．下列命题中全称量词命题的个数是 （Ｃ ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的矩形是正方形； ③三角形的内角和是１８０°． Ａ． ０　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ２．下列命题中，不是全称量词命题的是 （Ｄ ） Ａ．任何一个实数乘以０都等于０ Ｂ．自然数都是正整数 Ｃ．每一个向量都有大小 Ｄ．一定存在没有最大值的二次函数 知识点２ 存在量词与存在量词命题 　 　 １．存在量词：短语“存在一个”“至少有一 个”在逻辑中通常叫做　 存在量词，并用符号 “　 ”表示． ２．存在量词命题：含有存在量词的命题，叫 做　 存在量词命题． ３．存在量词命题的表述形式：存在量词命 题“存在Ｍ中的元素ｘ，使ｐ（ｘ）成立”，可用符 号简记为　 ｘ∈Ｍ，ｐ（ｘ）． ４．存在量词命题的真假判断：要判断一个 存在量词命题是真命题，只要在集合Ｍ中，能找 到一个元素ｘ，使ｐ（ｘ）成立即可；否则这一命题 就是假命题． 想一想：怎样判断一个命题是存在量词 命题？ 练一练： １．下列存在量词命题是假命题的是（Ｂ ） Ａ．存在ｘ∈Ｑ，使２ｘ － ｘ３ ＝ ０ Ｂ．存在ｘ∈Ｒ，使ｘ２ ＋ ｘ ＋ １ ＝ ０ Ｃ．有的整数是偶数 Ｄ．有的有理数没有倒数 ２．下列语句中，是全称量词命题的是　 　 　 　 ，是存在量词命题的是　 　 　 　 ． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个６０°角的三角形是等边三 角形； ③负数的立方根不等于０； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有有理数都是实数吗                          