1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定，涵盖否定形式转换规则及常见词语否定表，通过复习量词命题概念，对比原命题与否定命题的真假关系，搭建从命题表述到否定规则的学习支架，衔接前后知识。 资料以表格化呈现知识点，例题与跟踪训练结合，注重逻辑推理素养培养，通过命题否定的真假判断训练思维严谨性，习题分层设计兼顾不同水平，拓展环节补充词语否定表，助力学生准确表达数学命题，提升数学运算与逻辑推理能力，适合自主学习与课堂教学。

数学 必修 第一册 RJA 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 (教师独具内容) 课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假． 教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断． 核心素养：1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的否定的应用，提升数学运算素养． 知识点一　全称量词命题的否定 全称量词命题p 綈p 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M， 綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 知识点二　存在量词命题的否定 存在量词命题p 綈p 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [拓展]　常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 [想一想]　∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性如何？ 提示：相反． 1．(全称量词命题的否定)设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为(　　) A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0 C．∃x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 答案：B 2．(存在量词命题否定的真假判断)命题“∃x∈Q，x2＝7”的否定是________命题(填“真”或“假”)． 答案：真 3．(由命题真假求参数的取值范围)命题p：ax2＋2x＋1＝0有实根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|a≤1} 题型一　全称量词命题的否定 例1　　写出下列全称量词命题的否定． (1)对所有正数x，>x＋1； (2)所有被5整除的整数都是奇数； (3)每一个平行四边形都是中心对称图形． [解]　(1)该命题的否定为：存在正数x，≤x＋1. (2)该命题的否定为：存在一个被5整除的整数不是奇数． (3)该命题的否定为：存在一个平行四边形，它不是中心对称图形． 【感悟提升】全称量词命题否定的步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 注意：对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 【跟踪训练】 1．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． 解：(1)该命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以该命题的否定是真命题． (2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知该命题的否定是假命题． (3)该命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知该命题的否定为假命题． 题型二　存在量词命题的否定 例2　　写出下列命题的否定． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，|x＋1|≤1. [解]　(1)该命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”． (2)该命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”． (3)该命题的否定为“∀x∈R，|x＋1|>1”． 【感悟提升】存在量词命题否定的步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等． 注意：对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 【跟踪训练】 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，x2＋x＋≠0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)该命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，是假命题，如2是素数也是偶数． (2)该命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋＝0”，是假命题，因为当x＝1时，x2＋x＋＝≠0. (3)该命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”，是假命题，因为当x＝－1时，x3＋1＝0. 题型三　含有量词命题的否定的应用 例3　　(1)已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围． [解]　因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，所以m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}． (2)若命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． [解]　因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“对任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以实数a的取值范围为{a|a≥1}． 【感悟提升】由命题真假求参数范围的两个关注点 (1)p与綈p的真假性为一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)求参数范围问题，通常根据相关全称量词或存在量词命题的意义列出不等式(组)求解． 【跟踪训练】 3．(1)已知命题“存在x≤a，使得|x|＝2”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“存在x≤a，使得|x|＝2”是假命题，所以此命题的否定“对任意x≤a，|x|≠2”是真命题，所以a<－2. 所以实数a的取值范围为{a|a<－2}． (2)已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为綈p是假命题，所以p是真命题， 即∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}， 所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}， 则解得－3≤a≤1， 即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}． 1．命题“所有四边形的内角和都是360°”的否定为(　　) A．所有不是四边形的多边形内角和都不是360° B．所有四边形的内角和都不是360° C．存在一个四边形，它的内角和是360° D．存在一个四边形，它的内角和不是360° 答案：D 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，注意要否定结论．故选D. 2．已知命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 答案：C 解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C. 3．(多选)下列命题的否定是真命题的是(　　) A．p1：每一个合数都是偶数 B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3：有些实数的绝对值是正数 D．p4：平行四边形是菱形 答案：AD 解析：若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因为命题p1，p4均为假命题，所以綈p1，綈p4均为真命题．因为命题p2，p3均为真命题，所以綈p2，綈p3均为假命题．故选AD. 4．命题“对任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________． 答案：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0 解析：原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要改变量词又要否定结论，所以其否定为“存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0”． 5．已知命题“∃x∈R，使4x2＋x＋(a－2)＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：∵命题“∃x∈R，使4x2＋x＋(a－2)＝0”是假命题，∴命题“∀x∈R，4x2＋x＋(a－2)≠0恒成立”是真命题，即判别式Δ＝12－4×4×(a－2)＜0，即a>.故实数a的取值范围为. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 全称量 词命题 的否定 存在量 词命题 的否定 全称量 词命题 的否定 存在量词命题的否定及真假判断 含有量词 的命题的 否定及真 假判断　 命题的真假判断及全称量词命题的否定 由存在量词命题的真假性求参数范围 由含有量词的命题的真假性求参数范围 省略量词 的命题的 否定及真 假判断　 命题的真假判断及含有量词的命题的否定 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由全称量词命题的真假性求参数值 存在量词命题的否定 含有量词的命题的否定及应用 全称量词命题的否定及应用 含有量词或省略量词的命题的否定及真假判断 利用含有量词的命题的否定及真假性求参数范围 由全称量词命题的真假性求参数范围 由存在量词命题的真假性求参数范围 利用省略量词的命题的否定解决证明问题 一、单项选择题 1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案：D 解析：原命题是全称量词命题，其否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数． 2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 答案：C 解析：命题p是存在量词命题，其否定为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．故选C. 3．命题“∀x∈R，n∈N＋，n≥x2”的否定是(　　) A．∀x∉R，n∉N＋，使得n<x2 B．∀x∈R，n∈N＋，使得n<x2 C．∃x∉R，n∉N＋，使得n<x2 D．∃x∈R，n∈N＋，使得n<x2 答案：D 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀x∈R，n∈N＋，n≥x2”的否定为“∃x∈R，n∈N＋，使得n<x2”． 4．关于命题p“∃x∈R，x2－x＋1<0”的否定，下列说法正确的是(　　) A．綈p：∀x∈R，x2－x＋1>0，为假命题 B．綈p：∀x∈R，x2－x＋1>0，为真命题 C．綈p：∃x∈R，x2－x＋1≥0，为假命题 D．綈p：∀x∈R，x2－x＋1≥0，为真命题 答案：D 解析：因为命题p是存在量词命题，所以綈p为“∀x∈R，x2－x＋1≥0”，因为x2－x＋1＝＋≥>0，所以綈p为真命题．故选D. 5．(新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 答案：B 解析：对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题．综上，綈p和q都是真命题．故选B. 6．设x∈Z，集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，B＝{y|y＝4n＋2，n∈N}．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定和命题p的真假为(　　) A．∃x∈A，2x∈B，且p是真命题 B．∃x∉A，2x∈B，且p是假命题 C．∃x∈A，2x∉B，且p是真命题 D．∀x∉A，2x∉B，且p是假命题 答案：C 解析：命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定为∃x∈A，2x∉B.对于x∈A，则2x＝4n＋2，n∈N，即2x∈B，故p是真命题．故选C. 7．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－1} B．{a|a≥1} C．{a|a>1} D．{a|a≤－1} 答案：B 解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范围是{a|a≥1}．故选B. 8．若“∀x∈M，|x|>6”为真命题，“∃x∈M，使x<5”为假命题，则集合M可以是(　　) A．{x|x>6} B．{x|x<－6} C．{x|x<6} D．{x|x>－6} 答案：A 解析：∵“∀x∈M，|x|>6”为真命题，∴M⊆{x|x<－6，或x>6}，∵“∃x∈M，使x<5”为假命题，∴“∀x∈M，x≥5”为真命题，∴M⊆{x|x≥5}，∴M⊆{x|x>6}．故选A. 二、多项选择题 9．已知两个命题：(1)若x>0，则2x＋1>5；(2)若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是(　　) A．命题(2)是全称量词命题 B．命题(1)的否定为：存在x>0，2x＋1≤5 C．命题(2)的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等 D．命题(1)和(2)被否定后，都是真命题 答案：AB 解析：对于A，“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等”等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，是全称量词命题，故A正确；对于B，命题(1)的否定为：存在x>0，2x＋1≤5，故B正确；对于C，命题(2)的否定是：存在四边形为等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误；对于D，由于命题(2)：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误．故选AB. 10．下列说法错误的是(　　) A．命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x” B．命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0” C．“a>2”是“a>5”的充分不必要条件 D．命题“对任意x∈R，总有x2>0”是真命题 答案：ACD 解析：对于A，命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故A错误；对于B，命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正确；对于C，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故C错误；对于D，当x＝0时，x2＝0，故D错误．故选ACD. 11．已知命题p：∀x>m，x2≠10.若命题p为假命题，则实数m的值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：ABC 解析：因为命题p为假命题，则綈p：∃x>m，x2＝10为真命题，所以m<.故选ABC. 三、填空题 12．命题“有的有理数没有倒数”的否定是________________________________． 答案：所有有理数都有倒数 解析：该命题是存在量词命题，存在量词命题的否定是改量词，否结论，则命题的否定是“所有有理数都有倒数”． 13．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为两位同学题中m的取值范围是否一致？________(填“是”或“否”)． 答案：是 解析：∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，∴两位同学题中的m的取值范围是一致的． 14．已知命题p：∀x∈R，x2＋4x≥m，则綈p是________________，若綈p是假命题，则实数m的取值范围为____________． 答案：∃x∈R，x2＋4x<m　{m|m≤－4} 解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，既要改变量词又要否定结论，所以其否定为∃x∈R，x2＋4x<m.因为綈p是假命题，所以p是真命题，由题意，令y＝x2＋4x，因为y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4. 15．(多选)下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x∈R，x2>x”的否定是假命题 B．命题“∃m∈N，使∈N”的否定是假命题 C．命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的否定是真命题 D．命题“至少有一个整数n，使n2＋n为奇数”的否定是真命题 答案：BD 解析：对于A，命题的否定为“∃x∈R，x2≤x”，显然为真命题(取x＝0检验即可)，∴A错误；对于B，命题的否定为“∀m∈N，∉N”，举反例：当m＝0时，＝1∈N，∴是假命题，∴B正确；对于C，∵命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”为真命题，∴此命题的否定为假命题，∴C错误；对于D，命题的否定为“∀n∈Z，n2＋n为偶数”，∵当n∈Z时，n2＋n＝n(n＋1)是偶数，∴是真命题，∴D正确．故选BD. 16．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若p为真命题，綈q为假命题，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≥1} B．{m|m≤1} C．{m|m≥3} D．{m|m≤3} 答案：C 解析：由题意知命题p，q都是真命题．由∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.综上，实数m的取值范围为{m|m≥3}．故选C. 17．已知命题“∀x∈R，ax2＋4x－1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≥－4} 解析：由题意可知，命题“∃x∈R，ax2＋4x－1≥0”是真命题．当x＝0时，则有－1≥0，不符合题意；当x≠0时，由ax2＋4x－1≥0，可得ax2≥1－4x，则有a≥＝－，∵－＝－4≥－4，当且仅当x＝时，等号成立，∴a≥－4，即实数a的取值范围是{a|a≥－4}． 18．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围． 解：因为“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，所以它的否定“∀m∈R，A∩B＝∅”为真命题， 当a<0时，A＝{x|0≤x≤a}＝∅，符合A∩B＝∅； 当a≥0时，因为m2＋3>0，所以由∀m∈R，A∩B＝∅可得a<m2＋3，对于m∈R恒成立， 因为m2＋3≥3，所以0≤a<3. 综上，实数a的取值范围为{a|a<3}． 19．已知a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 证明：所要证结论的否定为“两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0都没有两个不相等的实数根”． 若所要证结论的否定为真命题， 则Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0， 所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0. 因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1， 所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0. 但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾． 所以所要证结论的否定是假命题，即所要证结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 13 学科网（北京）股份有限公司 $