第07讲 基本不等式及其应用（2大考点4种解题方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第一册）

第07讲 基本不等式及其应用（2大考点4种解题方法） ( 考点 考向 ) 一、平均值不等式： 变式： 推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，称为这个正数的几何平均数， 它们的关系是：，当且仅当时等号成立。 二、三角不等式 如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. ( 考点 精讲 ) 考点一：平均值不等式及其应用 题型一：简单基本不等式问题 一、单选题 1．（2021·上海·高一专题练习）若0<a<b，则下列不等式一定成立的是（       ） A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 【答案】C 【分析】利用不等式的性质结合基本不等式进行判断 【详解】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>. 故b>>>. 故选：C 2．如果正数满足，那么（ ） （A） ，且等号成立时的取值唯一 （B），且等号成立时的取值唯一 （C），且等号成立时的取值不唯一 （D），且等号成立时的取值不唯一 【答案】A 3．设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A．a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥ 【答案】D， A,B显然满足，而C中， 二、填空题 4．（2020·上海·高一专题练习）设，，，则下列不等式恒成立的有______．(填不等式序号) ①；②；③． 【答案】①③ 【分析】利用不等式性质可判断①；将平方展开再结合已知条件和①可判断②；将 两边平方再展开结合①可判断③，进而可得正确答案. 【详解】对于①：，所以，当且仅当时等号成立，故①正确； 对于②：，所以，当且仅当时等号成立，故②不正确； 对于③：，所以，当且仅当时等号成立，故③正确； 故答案为：①③. 三、解答题 5．已知正数满足，求的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。 的最小值为 【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件， 当时，即，取得最小值。 题型二：不等式的最值问题 一、单选题 1．（2021·上海市崇明中学高一期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值 【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故 因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为 故选：D 二、填空题 2．（位育中学高一期中）若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________. 【答案】 【分析】对x2＋y2＋xy＝1进行变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤ ∴，∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立. 故答案为： 3．（2021·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】先将原等式转化，再利用重要不等式，即可求出的最小值. 【详解】，， ，当且仅当时等号成立. ，的最小值为. 故答案为： 4．（2021·上海·上外附中高一期中）设，则的最小值是___________. 【答案】4 【分析】先对化简得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：4 5．（2020·上海·高一单元测试）当时，的最小值为______． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 6．（2020·上海市第三女子中学高一期中）已知正数满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【分析】将展开，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：. 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：9. 7．（2020·上海·古美高中高一期中）已知，则的最大值是___________. 【答案】 【分析】将代数式变形为，然后利用基本不等式可求出的最大值. 【详解】 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，因此的最大值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求积的最大值，解题的关键就是对代数式进行配凑，利用“积定和小，和定积大”的思想进行求解，考查计算能力，属于中等题. 8．（2021·上海·高一专题练习）设，已知，则的最小值为__________. 【答案】32 【分析】将变为，然后利用平方平均数与调和平均数的大小关系求得的最小值. 【详解】即，所以由得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 9．