第06讲 不等式的求解（4大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第一册）

第06讲 不等式的求解（4大考点） ( 考点 考向 ) 1.一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的 值称为该不等式的解．一个不等式的解的全体所组成的集合称为 此不等式的解集．求不等式解集的过程称为不等式的求解，或 解不等式．将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到 不等式组．解不等式组就是求解不等式组中的所有不等式的解集的交集 2.一元二次不等式的求解 3、分式不等式的解法 （1）进行同解变形：； 分式不等式转化为整式不等式来解．； （2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意分母不为零． 4、含有绝对值不等式的解法 （1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于x的一次多项式）. （2）的解集为；的解集为. （3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法. （4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. （6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式. ( 考点 精讲 ) 考点一：一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 一、填空题 1．（2022·上海杨浦·高一期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案. 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 则，解得； 当不等式的4个整数解为时， 则，不等式组无解， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 2．（2021·上海·高一专题练习）关于x 的不等式的解集是___________ . 【答案】 【分析】直接变形不等式可得x>-8，结合x+3≠0可得解. 【详解】由， 可得， 去分母得，3(4x-3)+15>15x-5(2+x)， 去括号得，12x-9+15>15x-10-5x， 解得x>-8， 又因为x+3≠0，所以x≠-3.所以不等式的解集是. 故答案为：. 3．（2021·上海·高一专题练习）关于x 的不等式 的解集是___________ . 【答案】 【分析】不等式可化简为，计算即可. 【详解】不等式整理的5x+1>4x-2，解得x>-3，又因为2x-1≥0，所以， 所以不等式的解集为, 故答案为： 4．（2021·上海·高一专题练习）若不等式(a+1)x>a+1的解集是{x|x<1}，则实数a必须满足_______ . 【答案】a<-1 【分析】利用不等式的性质以及一元一次不等式的解法即可求解. 【详解】因为不等式(a+1)x>a+1的解集是{x|x<1}， 所以a+1<0，则a<-1. 故答案为：a<-1 5．（2021·上海·高一专题练习）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为______ . 【答案】 【分析】根据题目条件得，再把代入原不等式求解即可. 【详解】由题知，，， 把代入原不等式得，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 6．（2020·上海·高一专题练习）不等式组的解集为________. 【答案】 【分析】分别求得两个不等式的解，然后取它们的交集，由此求得不等式组的解集. 【详解】记原不等式组为 解不等式①，得x≤1. 解不等式②，得x≥－4. 故原不等式组的解集为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题. 二、解答题 7．（2021·上海·高一专题练习）解下列关于x的不等式：(p-q)x<p2-q2，其中p≠q. 【答案】当p>q时，解集为;当p<q时，解集为. 【分析】对p，q的的大小进行分类讨论求解. 【详解】因为p≠q，所以当p>q时，p-q>0，则x<，解集为;当p<q时，p-q<0，x>，解集为. 综上，当p>q时，解集为;当p<q时，解集为. 8．（2020·上海·高一专题练习）已知关于x的不等式组无解，求的取值范围. 【答案】 【分析】分别求解不等式①和②，根据不等式组没有解，求得的取值范围. 【详解】解不等式①，得， 解不等式②，得， 因为不等式组无解， 所以. 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题. 考点二：一元二次不等式的求解 一、单