第05讲 等式与不等式性质（3大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第一册）

第05讲 等式与不等式性质（3大考点） ( 考点 考向 ) 1．等式的性质 2.方程的解集 含有未知数的等式称为方程．使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 3.一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． 4．一元二次方程根与系数的关系 5、不等式的性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法： 注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用. 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. ( 考点 精讲 ) 考点一：等式性质与方程解集 一、双空题 1．（2020·上海·高一专题练习）我们用记号“”表示两个正整数间的整除关系，如表示整除．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________；②__________． 【答案】     若，，则     若，，则 【分析】本题首先可通过题意明确记号“”的含义，然后改写整除关系的两个性质即可. 【详解】若整除，整除，则整除 即若，，则； 若整除，整除，则整除， 即若，，则， 故答案为：若，，则；若，，则. 二、填空题 2．（2022·上海金山·高一期末）若等式恒成立，则常数a与b的和为______. 【答案】2 【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点. 【详解】等式恒成立， 即恒成立， 则有，解之得，故 故答案为：2 3．（2021·上海师大附中高一阶段练习）已知等式对任意实数都成立，则___________. 【答案】 【分析】根据等式对任意实数都成立，得对应项系数相等，求出可得结果. 【详解】因为等式对任意实数都成立， 所以，所以. 故答案为：. 4．（2020·上海·高一专题练习）已知是非负整数，且，则的范围是_____ 【答案】 【分析】由①×3﹣②得到2x+y＝0，结合x、y是非负整数，得到x＝y＝0，z＝10，进而计算结果. 【详解】∵ ①×3﹣②得： 2x+y＝0， ∵x、y是非负整数， ∴x＝y＝0，z＝10， ∴x+5y+3z＝30， 故答案为：． 5．（2020·上海·华东师范大学松江实验高级中学高一阶段练习）若恒成立，则的值______． 【答案】5 【解析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果. 【详解】因为，即恒成立， 所以，所以. 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键. 6．（2020·上海·华东师范大学第一附属中学高一期中）已知，则当且仅当a，b满足 ____________ .时，成立. 【答案】或 【解析】按，讨论，可得等式成立． 【详解】当时，，成立； 当时，，成立； 故答案为：或. 考点二：一元二次方程解集及根与系数的关系 一、填空题 1．（2021·上海·上外附中高一期中）关于的方程的两个根为素数，则___________． 【答案】 【分析】设关于x的方程的两根分别为，由韦达定理得，则中一个是偶数一个是奇数，从而得，进而求出参数． 【详解】设关于x的方程的两根分别为，且 则因为均为素数，所以中一个是偶数一个是奇数， 故，所以． 故答案为：． 2．（2022·上海浦东新·高一期末）已知是关于的方程的两个根，则 ________. 【答案】4 【分析】由条件可得，，然后利用算出答案即可. 【详解】因为是关于的方程的两个根， 所以，，所以 故答案为：4 3．（2021·上海·格致中学高一阶段练习）若方程的两根分别为､，则___________. 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解. 【详解】因为方程的两根分别为､， 所以， 所以， 故答案为： 4．（2021·上海·格致中学高一期中）若关于的方程有两个实数根，且这两根互为倒数，