第09讲 数列求通项、求和-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

第09讲 数列求通项、求和 【考点梳理】 1.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系. 【解题方法和技巧】 1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关. 3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 4.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． ①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； ②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　 5.由递推关系式求通项公式的常用方法 (1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1. (2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1. (3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}． (4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． 6.在利用裂项相消法求和时应注意： (1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2)要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 7.用错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意 【考点剖析】 【考点1】 1.已知数列的首项，其前项和为，若，则__________． 【答案】96 【分析】由题意易得，两式相减可得数列从第二项开始成等比数列，进而可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得， 又因为，，得， 所以数列从第二项开始成等比数列， 因此其通项公式为， 所以， 故答案为：96. 【考点2】由递推公式求通项 1.若数列满足：，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 分析】利用整体相减的方法即可计算出数列的通项公式 【详解】由①得，当时② 由①②得 当时也满足上式 故选：D 2.已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________. 【答案】 【分析】化简题设条件得到，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求得则，再利用叠加法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，数列满足（）， 两侧同除，可得，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 所以 （）， 当时，适合上式， 所以，所以数列的通项公式. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列定义及通项公式，以及“叠加法”的应用，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“叠加法”求解是解答的关键. 【考点3】分组求和 1.设数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的表达式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据，即可求出数列的通项公式； （2