第一章第一节 函数的解析式及分段函数-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

·等习心得 第一章 函数、导数及其应用 第一节 函数的解析式及分段函数 考向今求函数的解析式 求函数解析式的常见方法有：1.代入法；2.换元法；3.配凑法；4.待定系数法；5.消元法（又叫方程 组法)；6.转代法；7.赋值法. ①代入法（适用题型：已知f(x),g(x)的解析式，求f(g(x)的解析式） x2,x≥0， 例1 已知f(x)= g(x)=2x-1,求f(g(x). -1,x<0 解析 (1)当2x-1≥0，即x≥2时，f(g(x)=(2x-1)2三 把g(x)代入时，要先判断 4.x2-4x+1. g(x)属于f(x)的哪一个 (2)当2x-1<0,即x<号时，fg)=-1 区间，然后代入相应的解 1 4x2-4x十1，x≥2： 析式即可. 综上，f(g(x)= 1x<2 方法技巧 1.把变量代入函数的解析式时，应先判断变量的取值是否在函数允许的范围内，不能随便 代入. 2.与分段函数有关的问题，通常要分段处理. ②换元法（适用题型：已知f(g(x)的解析式，求f(x)的解析式） 例2 已知f(W+1)=x十2√x,求f(x)的解析式. 解析 设W+1=t(t≥1)， 则元=t-1,x=(t-1)2 :f(元+1)=x+2G, f(1)=(1-1)2+2(t-1)=2-1(t≥1)， f(x)=x2-1(x≥1). 方法技巧 1.已知复合函数F(x)=f(g(x),求f(x)的解析式的步骤：(1)设g(x)=t;(2)求出x(用t 表示)；(3)代入f(g(x)进行换元后，得到f(t),再将t换成x,便可得f(x)的解析式. 2.要注意换元的等价性.如本例中，t=元十1，则t≥1.因此函数f(x)=x2一1的定义域是 [1,十∞)，而不是(-0∞，十∞). 1《函数、导数及其应用第量 学习心得。 3配凑法（适用题型：已知f(g(x)的解析式，求f(x)的解析式） 例3（同例2）已知f(+1)=x十2v元，求f(x)的解析式 “配凑法”与“换元法”的 解析 fx+1)=x十2/=()2+2x+1-1 本质相同 =(W反+1)2-1， 相当于换元法中的t, f(x)=x2-1(a21). t=x+1≥1. Q方法技巧 配凑法就是把解析式的右边配成以左边小格号内的式子为变量的形式。 ④待定系数法（适用题型：已知函数的类型，求函裁的解析式） 例4已知f(x)是一次函数，且满足3f(x十1)一2fx一1)=2x十17，求fx)的解析式. 解析 f(x)是一次函数，可设f(x)=ax十b(a≠0)，←-类型为一次函数 3f(x+1)-2f(x-1)=3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b] =ax+(5a+b). ax+(5a十b)=2x十17.←一恒成立，则对应项相等. a=2, 解得 a=2, 5a+b=17, b=7. 故f(x)的解析式为f(x)=2x+7. 方法技巧 所求函数中有几个待定系数，就需几个方程，求得系数，即求得函数解析式 ⑤消元法（方程组法）（造用题型：已知关于f)与f()或f(-x)的关系式，求f)的解析式） 例5 已知函数f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x)的解析式. 2fx)+f()=3,① 注意①②两个方程中，小 取x为42)十)=是② 括号内的形式正好互换 ①②联立，消去/）得)=2红-是≠0)， 方法技巧 借用方程思想，根据已知条件再构造出另一等式组成方程组，消元后，可求出函数(x)的 解析式.如2f(x)十f(-x)=3x+1,取x为一x可得2f(-x)十f(x)=-3.x十1，两式联立消去 f(一x)后，可得f(x)的解析式 高中悬净字霸提分笔记>2 6转代法（性质法）（适用题型：已知函裁在某区间上的解析式，求在另一区间上的解析式） (等习心得 例6已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(.x)=x2十x十1，求f(x)在(0， 十∞)上的解析式： 解析 设x(0,+o∞)， 则re(-,0), 步骤： ①求谁设谁； ·f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1. ②我关系； f(x)为奇函装， xE(0,+o∞) 相反 f(-x)=-f(x), -x∈(-∞，0) ·-f(x)=x2-x十1， ③利用性质，整理求解。 f(x)=-x2+x-1,x∈(0，+o∞). 方法技巧 解题步骤：(1)设所求范围内的变量为x(求谁设谁)；(2)与已知范围比较我到关系；(3)利用 函数的性质，整理求解.（步骤口诀：求谁设谁我关系） 变式1.设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(4-x)=f(x).已知x∈[-2,2]时，f(x) 一x2+1,求当x∈[一6，一2]时，f(x)的解析式. 解析 设x∈[-6：-2]， 则x十4∈[-2,2]. ①先设