学案51 同角三角函数的基本关系-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

新知应用 1.解：(1)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360)=tan48°，而 48°是第一象限角，所以tan(一672)>0. (2)因为tan3π=tan(π十2π)=tanπ，而元的终边在x轴上， 所以tan3π=0. (3)由-672°20'=47°40'+(-2)×360°，可知-672°20'是第 一象限角，所以tan(-672°20')>0. (0白g-经+，可如9受老第三缘限角。 所以an1g>0 2解：1ams-eos(任+2x)=os至-号 4 2 2an(-g）=1am(倍-2a)=am6- 63 3.解：(1)原式=sin(-4×360°+45)cos(3×360°+30)+ cos(-3X360°+60)sin(2X360°+30°) =sin45°cos30°+cos60°sin30° V2√311W6±1_1十/6 2+2×2=1+4 4 (2)原式=sin(2x+哥)cos(-4r+君）+tan(-4x+）: 名- 课堂达标 1.B[由sin0·cos0<0,知sin0和cos0异号，所以0在第二 象限或第四象限， 又因为sin0>cos0,所以0在第二象限.故选B.] 2.C[sin(-3159=sin(-360+459)=sin45”=￥ 2.故选C.] 3.C[因为，点P在第四象限，所以有ana>0:由此可判断角 cos a<0, a的终边在第三象限.故选C.门 4.BD[对于选项A,因为10°角是第一象限角， 所以sin10>0,故选项A不满足题意； 对于选项B,因为一220°角是第二象限角， 所以cos(-220)<0,故选项B满足题意； 对于选项C,周为一10∈(-经.-8)，片以角-10是第二 象限角，所以sin(一10)>0，故选项C不满足题意； 对于选项D,因为cosπ=一1<0，故选项D满足题意 故选BD.] 5.(-2,3][因为cosa≤0，sina>0, 所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为a终边 过点(3a-9,a+2), 所以3a-9S0'所以-2<a≤3， (a+2>0, 即实数a的取值范围是(-2,3].] 6.必要不充分[如a=2,则sina>0,但角a的终边不落在 第一、二象限，故由sina>0得不到角a的终边落在第一、二 象限； 若角a的终边落在第一、二象限，则sina>0成立，故sina> 0是角α的终边落在第一、二象限的必要不充分条件.] 7.[20x-受，2km+],∈z[周为osx=cosz,所以 c0sx≥0，所以角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取 值范国是[2kx-受，2kx+]∈Z] 8.解：(1)原式=tan(360°+45)-sin(360°+90)+cos(2×360° +30)=tan45°-sin90°+cos30° =1-1+33 22 (2)原式=sin(3+8m)+tam(牙-4x -血+m-+1 学案51同角三角函数的基本关系 课堂活动 活动一探究同角三角函数的基本关系式 新知导学 问题1提示：(1)sin2a十cos2a=1; (e。-ua(≠t+音ez 问题2提示：，点P坐标为(cosa,sina),所以x2十y2=1,即 sin'a+cos2a=1. π 由正切函数的定义知，当a≠？十kπ（兔∈Z）时，有ana -sin a cos a 新知生成 2.1正切 问题3提示：sin2a+cos2a=1→ [sin2a=1-cos2a, cos2a=1-sin'a, sina=±√1-cos2a, cosa=±/1-sin2a, (sina士cosa)2=1±2 sin acos a. sin a=tan acos a, tan a=sin a cos a oa-品 新知应用 1.解：因为sina<0,sina≠一l,所以a是第三或第四象限角. 由sin2a+cos2a=1得 oia1-ma=1-(←g）厂-8 如果a是第三象限角，那么cosa<0.于是 cosa=一√25 从而ma-：-(-）×(-）- 如果α是第四象限角，那么 osa=ana=-子 631 母题变式：(1)解：直接按象限确定符号，只有一组解，cosα= ma-。-()×()-子 （2>解：cos。=-子<0， a是第二或第三象限角】 当a是第二象限角时，sina>0,tana<0, .sina-V1-cosa-1--3)- 4 cos a 当a是第三象限角时，sina<0,tana>0, ∴ma=--osa=-√1-（←gT=-子， tana=sina4 cos a 3 2.⑤ tan 0=sin 1 5 [由 cos02'且0∈(0，)，解得 sin20+cos20=1, sin0- 5 cos 0=215 故sin0-cos0=-5. 5 活动二三角函数式的化简与求值 新知应用 角度1 2sin acos a 2tan a 2X2 4 1.D [2sin acos a= sin'a+cos'a tan'a+1 22+1 5 故选D.] 2.解：(1)原式=4tana-1=4×3-111 3tana+53×3+514 (2)原式=tana-2tana-1_9-2X3-1 2 4-3tana 4-3×9=-23 3 1 3 13 (3)原式= 4 ina+2 cos'a tan'a+-2_圣×9+2 sin2a+cos2a tana+l 9+1 29 40 角度2 1 3.解：(1)由sina+cosa=-3,得(sina十cosa)2=g, 即sia+2 2sin o+cosa=行， 所以sin acos a=一g, 4 (2)因为0<a<π， 所以sina>0,cosa<0,所以sina-cosa>0. 所以sina-cosa=√(sina-cosa) -1-2sin acos a17 3 164 活动三三角函数式的化简与证明 新知应用 1.解：因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0. 1 故tan a sina -sima=tana√sin2a -1=tana√sin2a [cos'a= sin a cos a sin a -c0s&=-1. cos a sin a cos a sin a 2.证明：法一：由cosx≠0，知sinx≠一1，所以1十sinx≠0，于 cosx1+sinx）=cos (1+sinx） 是左边=1-sinx)(1+sinx） 1-sin'x -cos x(1+sin z)1+sin x cosx cos x =右边. 所以原式成立. 法二：因为 (1-sin x)(1+sin x) =1-sin'x=cos2x =cos xcos x. 由1一sinx≠0，c0sx≠0， cos x1+sin x 所以1-sinz=cosz 3.证明：1+tan2a=1+sine=osa十sina=1 cos'a cosa cos2 原式成立 课堂达标 1.C=sin2a+cos2a (sin2a+cos2a)=sin2a+cos2a=1 故选C.] 2.C[由tana=√2，得sina=√2cosa,所以sin2a=2cos2a, 联 sin2a=2coa,解得cosa=3, 1 (sin a+cos2a=1, 因为a为第三象限角， √3 所以cosa= 3’ 故V2sina十cosa=2cosa+cosa=3cosa=3X (9）a 故选C.] 3.D[由2cos20-cos0=1可得(cos0-1)(2cos0+1)=0, 因为9∈(0，x,则cos0≠1，放c0s0=一-子，则0=5， in2π-3 所以sin0l=sin3=2 故选D.] 4.ABD[因为sin0+cos0三5，平方可得sin20十2sin0cos0+ 1 cos*0-1+2sin Ocos 0=25* 解得2sin0cos0=-24, 25 因为0∈(0，x),所以sin0>0,c0s0<0,所以0∈（受，x),所 以A正确； 又由(sin0-cos0)2=sin20-2sim0cos0+cos0=25, 49 所以sin0-cos0= 7 ,所以D正确； 1 sin 0+cos 5 3 联立方程组 sin 0-cos5 解得sin0= 5,c0s0= 5 所以B正确； tan o=sin cos 0 3,所以C错误 故选ABD.] 5.0或1[由于sina=k,cosa=1一k.根据题意得到， sin2a十cos2a=1,即k2+(1-k)2-1,解得k1=0,k2=1. 满足{厂1区si血&=k≤1， 解得0k≤1， -1≤cosa=1-k≤1， 则k的值为0或1.] 6.- [由sin2a十cos2a=1,得1-cos2a=sin2a, sin a sin a (1-cos a) …1+cosa (1+cos a)(1-cos a) -sin a(1-cos a)1-cos a sin'a sin a sin a 2.1-cos a 2 1+cos a 3 sin a 3 即1-cosa 学案52诱导公式二、公式三和公式四 课堂活动 活动一探究诱导公式二四 新知导学 问题1(1)提示：相等. (2)提示：终边关于x轴对称. (3)提示：终边关于y轴对称 (4)提示：终边关于原点对称 问题2提示：点P(x,y)关于原点的对称点P1(一x,一y), 点P(x,y)关于x轴的对称点P,(x,一y), 点P(x,y)关于y轴的对称点P3(一x,y). 问题3提示：角π十α与角a的终边关于原点O对称， sin a=y,cos a=x,tan a=y, in(x+e)=-y,cos(xta）=-,un(x+e）)=是=2 问题4提示：角-口与角a的终边关于x轴对称，有 sin a=y,cos a=z,tan a-.sin(-a)=-y,cos(-a)= x,tan(-a)=二y=-y x x 问题5提示：角π一a与角a的终边关于y轴对称，故有sina =y,cos a=x,tan a=y sin(x-a)=y,cos(x-a)=-z,tan(n-a)=y =_y x 新知应用 解：1)c0s225°=c0s(180+45)=-c0s45°=- 21 (2)sm85=sm(2x+）=m5=m(。-）-sm君 2 8sm(-1）=-m1-m(x+）=-(←如音） (4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6×360°-120)= tan120°=tan(180°-60)=-tan60°=-√3. (5)sin(-390°)+cos(-660°)+3tan405°-cos540°tan225° =sin(-360°-30)+cos(-720°+60)+3tan(360°+45) cos(360°+180)tan(180°+45)=sin(-30)+cos60°+ 3an45-ms180am45=-号+2+3-(-1)X1=4. 活动二求解给值（式）求值问题 新知应用 l.C[由sin(r-a)=- 得sa=-子丙a∈(-分0）小： 2 6>0于是oa-1a-(号T-5 所以cos(π十a)=一c0s&= 5 31 故选C.] 2.解：周为cos(g+e)=cos[-(倍-a] -s(倍-)=9， n(e-若）=sim[-(g-]=sim(后-a） -1-os(后-)-1-（停）‘-是， 所以m(借+)-如(-)=是- 3 母题变式：(1解：6os(。-1）=cos(”-） =co[2x+(后-a】=os(g-a）=号 (2)解：os(行-）-sim(。-1） -os[+(倍-】-sm[a-吾）-2 -(后-。）-r(）-g-号 =-5+2 3 活动三利用诱导公式化简 新知应用 1.解：(1)tan(-a-180)=tan[-(180°+a)]=-tan(180°+a) =-tan a, cos(-180°+a)=cos[-(180°-a)]=cos(180°-a) =一c0sa, -cos asin a 所以，原式=-tan二cosa)-cosa (2)tan(0)cos(2x0)cos (0-2x) cos(-0-3π)sin(-3π-0) =tan Ocos Ocos =-1. -cos 0sin 0 2.解：因为tan(π十a)=3,所以tana=3. 2cos(x-a)-3sin(x+a) 4cos(-a)+sin(2π-a) 65人教A版数学必修第一册 听 学案51同角三角函数的基本关系 记 昆学习任务 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.（逻辑推理） 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.（数学运算） 课堂活动 厅新知生成 活动一探究同角三角函数的基本关系式 1.平方关系：sina+cos2a=1. 显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也 阄新知导学 成立 阅读教材第182一183页，完成下列问题. 问题1 通过下列表格，你发现了什么？ 2.商数关系：当a≠x十（∈2）时，有 sin a sin a =tan a, sin a cos a tan a sin a++cos a cos a cos a 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等 ③ 1 ⊙ 6 2 2 3 3 于 ,商等于角a的 2 2 问题3追问：你能发现同角三角函数的基本关 元4 1 2 系的哪些变形形式？ 3 1 3 2 3 √3 新知应用 1.已知sina= 5,求cosa,tana的值 问题2如图，设点 P(x,y)是角&的 终边与单位圆的交 点.过P作x轴的 A(1,0)x 垂线，交x轴于M, 3 则△OMP是直角 母题变式：(1)已知sina=一号a是第三象限角， 三角形，而且OP= 求cosa,tana的值.与原题解法有什么不同？ 1.由勾股定理有OMP+MP2=1.由此想到sina, cosa,tana之间有什么关系？ (2)如果此题改为：已知cosa=一子，求sina, tana的值. 11156 同角三角函数的基本关系学案51 2.(2023·全国乙卷)若0∈(0，》，an0=7则 「方法总结」关于sina,cosa的齐次式的求值 听 方法 sin -cos 0= (1)关于sin&,cosa的齐次式就是式子中的每一 笔 「方法总结」已知正弦、余弦、正切中其一求 项都是关于sina,cos&的式子且它们的次数之 外两个量的方法 和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosa的n (1)已知sin0(或cos0)求tan0,常用以下方 次幂，其式子可化为关于tana的式子，再代入 式求解 求值 c0s20=1-sin20 (2)若无分母，把分母看作1，并将1用sina+ sin20+cos20 =1 tan 6= sin 0 sin20=1-cos20 cos 0 cos2a来替换，将分子、分母同除以cos2a,可化为 关于tana的式子，再代入求值. (2)已知tan0求sin0(或cos0),常用以下方 式求解 角度2利用sina十cosa,sina一cosa与sin acos a 之间的关系求值 n有方法 3.已知sina十cosa=- am9=8 求sin20. 求 3,0<a<元 方法 sin 0. n28=-cos20 c0s20 cos 0 (1)求sin acos a的值； c0s20 (2)求sina一cosa的值. 注意：当角日的范围不确定且涉及开方时，常因三 角函数值的符号问题而对角日分区间（象限） 讨论 活动二三角函数式的化简与求值 今新知应用 角度1关于sina和cosa的齐次式的值 1.若tana=2,则2 sin acos a等于 ( 号 B.一5 「方法总结」1.sina+cosa,sin&一cosa, c 0.3 4 sin acos a三个式子中，已知其中一个，可以求其 他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sina 2.已知tana=3,求下列各式的值： (1)4sin a-cos a ±cosa)2=1±2 sin acos a. 3sin a+5cos a 2.sin0一cos0的符号的判定方法：由三角函数的 (2)sin'a-2sin acos a-cosa 定义知，当0的终边落在直线y=x上时，sin0= 4cos a-3sin a cos0,即sin日一cos0=0;当0的终边落在直线y 3)3」 =x的上半平面区域内时，sin0>cos0,即sin0 4 sin'a+ cos'a. 一cos0>0;当0的终边落在直线y=x的下半平{ 面区域内时，sin0<cos0,即sin0-cos0<0,如！ 图①所示.同理可得sin0十cos0的符号如图 ②所示， sin 0-cos 0>0 sin 0+cos 0>0 15710 人教A版数学必修第一册 活动三三角函数式的化简与证明 (4)综合法：由一个已知成立的等式（如公式等）恒 等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化 仓新知应用 记 的思想， 1.化简tana 1 -一1，其中a是第二象限角. Vsin a 飞课堂小结 平方关系 求值 同角三角函数 化简 的基本关系 商数关系 证明 课堂达标 cos x 1+sin x 2.求证：1-sin x cos a 1.化简sina+cosa+sin2acos2a的结果是 ( ) A号 B.2 C.1 0.2 2.已知tana=√2，a为第三象限角，则√2sina十 cos a= () A.-2 B.-2√2 1 3.求证：1+tan2a= cos a C.-√3 D.-2√3 3.已知2cos20-cos0=1,0∈(0，π)，则|sin0|= () A.0 b.2 c或G √ D. 4.(多选)已知0∈(0，π)，sin0+cos0= 5,则下 列结论正确的是 ( ) 「方法总结」证明三角恒等式常用的方法 A.0E(管) B.cos = 5 (1)由繁到简法：从一边开始，证得它等于另一边， 一般是由比较复杂的一边开始化简得到另一边， C.tan 0=- 3 D.sin 0-cos = 5 其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式 5.已知sina=,cosa=1一k,则实数k的 子，其依据是等于同一个量的两个量相等。 值为 左边=1. (3)此较法：证左边一右边=0或证右边 sin a 6.若1十cosa 2 sin&_的值是 则1-osa 课后反思 11158