第一章第五节 指数函数、对数函数与幂函数-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

等习心得 第五节指数函数、对数函数与幂函数 考向 )与基本初等函数有关的比较大小问题 常见的比较大小的方法有：1.作差（商）法；2.单调性法；3.介值法；4.图象法（数形结合）；5.同n 次方法；6.特值法；7.构造函数法. ①作差（商）法 例1(2017·全国卷I)设x,y,x为正数，且2=3"=5，则() A.2x<3y<5 B.5<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5 解析 (法一)（作差法） 设2r=3=5=m(m>1),则x=l0g2m,y=10g32,之=1og1, 于是2x=2log2m,3y=3log3m,52=5logm. 2 32logm,3-3log2 log 9-log8 则2x-3=21ogm-3l0gm=10g210g3 l1ogm2·logm3 10g21og3>0, 即2x>3y.同理，2x<52 从而可知3y<2x<5z.故选D. (法二)（作商法） 由法一知，2x=2log2m,3y=3logm,5之=5logm,且均大于零. 作有地长系经影慢号>1明2≥ 同理，2x5z. 3y2x<5.故选D. (法三)（特值法）见例9. 方法技巧 1.作差法：(1)依据：若a-b>0,则a>b:若a一b<0,则a<b;若a一b=0,则a=b. (2)步骤：①作差；②变形（方法：因式分解、配方等）；③判断；④结论 2.作商法：在作商法中，作商之后要与1进行比较，并且，由分>1→>b是不正确的，这与 u,b的待号有关.北如，分>1，且>0，可得a>b:但者<0，由分>1，可得a<h, ②单调性法 例2比较下列各组值的大小： (1)a2,a(a>0,且a≠1)；(2)0.83,0.9a3； 3),80"(侵) 解析 (1)当a>1时，指裁函数y=为增函数.一2< ’a8<a 1 当0<a<1时，指数函数y=Q为藏函数.一2<5，a>a. 33《函数、导裁及其应用第量 学习心得 (2)幂蓝数y=x3在(0，十0∞)上是减函数，且0.8<0.9， y-0.8 0.83>0.903.(另：画出y=0.8与y=0.9的图象，利用数形结合判断) -09 1.9 (38):9=(2)99=2,84=(2)9=2,(号） =(21)-1.5=25, 0.30 又函数y=2r为增函数，且1.8>1.5>1.32 2>2>20,即4>（侵】 1.5 >89.44 ®方法技巧 对于两个或多个幂值比较大小的步骤如下：(1)若同底数，则可借助指数函数的单调性进行 比较.(2)若同指数，则可借助幂函裁的单调性进行比较.(3)若既不同底裁也不同指数，可先观 察，看是否能化成同底数或同指数，若能，则用(1)(2)所述方法进行比较；若不能，可选其他方法. 例3 设u-log:2b=log4号，c=log号，则a,bc的大小关系是( 2 ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 解析 c=l6g青-log(信)=1og皇 函装y=x为或函发，且号号< kg合>e号>lbe是，即a>6>故选且 化同底后，利用单调性比较大小 例4 比较a=log32,b=log2的大小. （法-a=lbe2=636=lg2 1og,5 换底公式的推论logb= 函数y=1og2x为增函数，1og25>l0g23>0. y=log 1 log5 log 3log,2<log 2,b<d. 1 (法二)画图，利用数形结合。 方法技巧 两个或多个对数比较大小的步骤如下：(1)若同底数，则可借助对数函数的单调性进行比 较.(2)若同真裁，则可先用换底公式的推论，换成同底数后，再比较大小.(3)若既不同底数又不 同真数，可先观察，看是否能化成同底数或同真数，若能，则用(1)(2)所迷方法进行北较；若不 能，可选其他方法（如介值法）. ③介值法 例5 设a=3a.2,b=log32,c=log.83,则( ) A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 解析 30.2>3°=1,0<b=l0g2<10g3=1,c=l0g.83<0, c<b<a.故选D. 高中悬净字霸提分笔记>34 例6 设a=log4,b=(1og3)2,c=log45,则() (等习心得 A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a< 解析 a=log 4<log 5=1,=(log 3)2<log 3<l0g 4=a<1, c=log5>log4=1,:b<a<c.故选D. 方法技巧 在比较大小时，有时也可选用某个中介值c,若a<c,c<b,则a<b,从而比较大小，通常介值 可选0,1等 变式1.已知x=lnπ，y=log2,x=e,则( A.I<y< B.<<y C.<y< D.y<< 解析 n>血e=1,1g=e是清y=