第一章第四节 函数的奇偶性、周期性-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

第四节函数的奇偶性、周期性 考向一函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的常见方法有1.定义法；2.图象法；3.性质法。 1定义法 例1判断下列函数的奇偶性。 ωfω=α-)/^再 （2)f(x)=lg(\sqrt{x}^2+1-x)； （3)f(x)=)x+x，x<0， -。x^2+x，x>0.定义域优先原则。 解析（1）1=2≥0，（1+x)(1-x)≥0，且1-x≠0，如y=x^2为偶函数， ：-1≤x<1， 但y=x^2，x∈(0，1]为非 函数f(x)的定义域为[―1，1)．一定义域不关于非偶函数。 ：函数f(x)为非奇非偶西数。原点对称． （2）·f(x)=lg(√x^2+i-x)， f(―x)=lg(﹑x^2+1+x)， f(一x)+f(x)=lg(^x+1+x)+lg(\sqrt{x}+1-x)由\sqrt{x}+1>\sqrt{x}=|x =lg[(\sqrt{x}^2+1+x)(\sqrt{x}+1-x)]=1g1=0，≥x得\sqrt{x2}+1-x>0， ∴f(-x)=-f(x)，注意到(√x^2+1＋x）． 函数f(x)为奇函数。（\sqrt{t}^2+1-x)=x^2+1- （3)当x<0时，一x>0.则x^2=1，：用奇函数定义的 f(-x)=-(-x)^2+(-x)=0)判断较简单。 =-x^2―x=-(x^2+x)=-f(x)；_________ 当x≥0时，x<0，则 f(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x =-(-x^2+x)=-f(x)。 综上。f(-x)=-(x)，分段函数，分段处理，最后合并即可 ：函数f(x)为奇函数。 方法)技巧— 1.判断函数的奇偶性，应先看定义域是否关于原点对称． 2.定义法判断函数奇偶性的等价形式：f(x)为奇函数⇔f(-x)+f(x)=0=)=-1 （f(x)≠0)，f(x)为偶函数⇔f(―x)-f(x)=0⇔f⊂=1(f(x)≠0)。 23〈函数、导数及其应用C一直 学习心得)。 2图象法 x2十x,x0, 例2】 判断函数f(x)= 的奇偶性。 -x2十x,x>0 解析 作出函数f(x)的图象如图 由图可知，函数图象关于原点成中心对称 函数f(x)为奇函数. ®方法技巧 1.奇函数的图象关于原点对称. 2.偶函裁的图象关于y轴对称，反之，亦成立。 变式1.若函数f(x)=x2-2(m-3)x十1为偶函数，则m= 由题意和，函数图象的对称轴为直线x=m一3=0， 即m=3.故答案为3. 1.二次函裁y=ax2+bx+ c为偶函数的充要条件是 ③性质法 b=0. 2.一次函数y=kx十b是奇 例3[多选]设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)为奇 函数的充要条件是b=0. 函数，g(x)为偶函数，则下列结论正确的是( ) A.f(x)·g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.|f(x)·g(x)是奇函数 若函数为奇函数或偶函数，则它的绝对值均为偶函数，由奇偶函数的乘法性质可知，B,C正 确.故选BC 方法技巧 1.两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）均为偶函数 2.两个奇函数的和、差为奇函裁，积、商为偶函数. 3.奇函数与偶函数的积、商为奇函数，和、差为非奇非偶函数. 变式 2.设函数f(x)=x3(e十a·er)(x∈R)是偶函数，则实数a= 解析 “f(x)是偶函数，且y=x是奇函数 y=e十a·er(x∈R)是奇函裁. ←若奇函製在原点有意义，则f(0)=0. :当x=0时，y=0,即e°+ue0=0, 1+a=0,a=-1. 故答案为一1. 高中悬净字霸提分笔记>24 考向©函数奇偶性的应用 等习心得 1利用函数的奇偶性求值 例4若函数f(x)为偶函数，当x∈(0，十∞)时，f(x)=logx,则f(-√2)= 数f(x)为偶函数， 0 f(-2)=f(w2). ①法一：借用奇偶性，求值 又当.x∈(0，+o∞)时，f(x)=log2x 时采用转化的方法先得到 f(-V2)=f(2),再代入 f(-2)=f(v2)=log 2=log,2 x>0时的解析式，较简. =号log2=司 ②法二：先求x<0时的 故答条为司 解析式，再代入计算 9 同f(一2)，较繁。 例5 已知函数=？十十2的最大值为M,最小 2x+1 值为m,则M十m= 解析 ,=22+2_22+=2+2 2+1 2+1 设g）=2+,则g(-x)=一g(x), g(x)是关于原点对称的奇函裁， 先分离出系数，再应用奇 g(x)mx十g(x)mm=0.←一奇函数的图象特点（对称性）. 函数的图象特点求值」 又M=f(x)mx=2十g(x)mx, m=f(x)mn-2+g()mn, M十n=2+g(x)mx十2十g(x)m=4