第一章第七节 函数与方程-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

等习心得 第七节 函数与方程 考向⊙ 函数零点所在区间的判定 例1 已知函数f(x)--1ogx,在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,十∞) 解析 由题意知，函裁f(r)=6-10gx在(0，十∞)上连续」 /1)=-6-0=6>0,/2)-3-1=2>0,0=9-10g4-3-2=-号<0， 由函裁零点存在性定理知，函裁f(x)在区间(2,4)上水有零点.故选C 方法技巧 1.零点存在性定理法：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0,则函数在区 间(a,b)上至少有一个零点. 2.图象法：若一个函数（或方程）由两个初等函数的和（或差）构成，则可考虑图象法求解，如 f(x)=g(x)一h(x),作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数的零点. 变式 1.如图是二次函数f(x)=x2一b.x十a的部分图象，则函数g(x)=e十 f(x)的零点所在的大致区间是() A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 解折 由图象可粒0<f(0)=a<1,① f(1)=1-b+a=0.② 由①②可知1<b<2,且g(x)=e+fP(x)=e+2x-b, 所以g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0. 由零点存在性定理知g(x)在区间(0,1)上女有零点.故选B, 变式 2设函数y=2与y=(3)】川 的图象的交点为(coy%),若x∈(n,n十1)，n∈N,则o新所在 的区间是 解析 由于函数y=x3与y= ()】 的图象的交点为(x0), 可设函数f(x)=x3- () ,且在R上连续， f(1)=1-2=-1<0,f(2)=8-1=7>0,f(1)·f(2)<0. xo∈(n,n十1)，n∈N,x∈(1,2).故答案为(1,2). 考向⊙ 判断函数零点的个数 判断函数零点个数常用的方法有：1.解方程法；2.图象交点法（数形结合）：3.零点存在性定理法 1解方程法 例2函数f(.x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 49《函裁、导数及其应用第章 学习心得 解析 令f(x)=0,即xcos2x=0,则x=0或c0s2x=0, 可得=0或2x=0m十受，kEZ, 年=0数x经+票k∈Z又e[0.2a], =0票平平，牙长选n 方法技巧 若对应方程f(x)=0可解时，通过解方程可得有几个解就有几个零点， x2-2x,x0, 变式 3.已知函数f(x) 1- 1 则函数y=f(x)十3.x的零点个数是() ,x>0, A.0 B.1 C.2 D.3 x2-2.x,r≤0， x2十x,x≤0， 函数f(x)= 11 :y=f(x)+3x= x>0, 1-}+3>0 当x≤0时，y=x2十x,令x2十x=0,解得x=0或x=一1； 当>0时w=1-+,令1-+=0，-0， 3x+x-1=0,x=1+区=1飞（含）. 6 6 综上，函装y=f()十3x的零点为0，-1,1士13，故选D 6 2图象交点法（数形结合） 例3若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x十2)=f(x),且当x∈[0,1]时，f(x)=x,则函数y= f(x)一log|x的零点个数是() A.2 B.3 C.4 D.多于4 解析 f(x)为偶函数，当xE[-1,0]时，一x∈[0,1]，f(-x)=一x,即f(x)=一x. “f(x十2)=f(x),·f(x)是以2为周期的周期函数 令y=f(x)-logx=0,即f(x)=logx, :y=f(x)一logx零点的个裁，即为函数y=f(x)与 y=log.Ixl y=logx的图象交点的个数. 在同一平面直角坐标系内画出以上函函裁图象 由图可知，共4个交点.故选C ®方法技巧 画出函数y=h(x)与y=g(x)的图象，根据图象的交点个数，判断方程h(x)一g(x)=0有 几个根或函数y=h(x)一g(x)有几个零点. 高中悬净字霸提分笔记>50 变式4.函数f(x)=2log2x-1的零点个数为() (等习心得 A.1 B.2 C.3 D.4 s 令f(x)=0,即2rlog2x-1=0,则2rlog2x=1, 可得g是-（份月 12 令y1=l0g2x,y2 ( 在同一平面直角坐标系内作出两函戴的图象 由图可知，交点有1个 故函数的零点个数为1.故选A ③零点存在性定理法 例4函数f(x)=2:+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析 f(0)=1十0-2=-1，f(1)=2+13-2=1, f(0)·f(1)<0. 又函数∫(x)在区间(0,1)上单调递增， f(x)在区间(0,1)内的零点个数是1