第一章第二节 函数的定义域、值域-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

学习心得 第二节函数的定义域、值域 考向O 求函数的定义域 ①求具体函数的定义域 例1求下列函数的定义域： (1)y=y3zx2 lx-1-1 (2)y=/25-x2 +1g cos x. )要使函表有意义，雷3x一Y≥0， 则 0≤x≤3， 解析 |x-11≠0，x≠2且x≠0. 0<x<2或2<x≤3，函的定义域为(0,2)U(2,3]. (2)要使函数有意义，需 25-x≥0， 〔-5≤x≤5， cos>0, 2km-变<x<2kπ+罗(k∈Z, -5≤.x< 函最的交义战为[-5，-四)U(受，受)U (西 ®方法技巧 1.求函裁的定义域，其实质就是求使得函数解析式有意义的x的取值集合， 2.其准则一般是：(1)分式中，分母不为零；(2)偶次根式中，被开方裁非负；(3)对于y=x, 要求x≠0：(4)对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)由实际问题确定的函数，其定 义域受实你问题的约束。 ②求抽象函数的定义域 例2 已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(2x十1)的定义域. 解析 :f)的定义藏为0，D,0<2r+1<1,<0.←一在f)与f2x+1D中z 2:+1)南定义线为(，0) 与2x十1的范围相同. 例3 已知函数f(2x十1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.<-在f(2.x十1)与f(x)中，2.x十1 f(2x十1)的定义域为(0,1)，：0<x<1. 与x的范围相同.（简称：法则 相同，范围相同) :1<2x+1<3. f(x)的定义域为(1,3) ®方法技巧 1.函数定义域都是指变量x的范围. 2.法则相同，则要求的范围也相同.如：在函数f(x)与f(g(x)中，前面x的范围与后面 g(x)的范围是一样的. 高中悬净字霸提分笔记>8 变式1.已知函数f2中1的定义城为0,1D,求函数y=》的定义或 等习心得 解析 f(2x十1)的定义域为(0,1)，0<x<1,1≤2x十1≤3 在f(x-1)中，1≤x1≤3,2<x<4. 又x-3≠0，x≠3,2<x<3或3<x<4 在f(2x+1)和f(x-1) 函数y=fD的定义藏为(2,3)U(3,40. 中，因为法则f相同，所以 x-3 2x十1与x-1的范围 3已知函数的定义域求参数 相同. 例4已知函数y=√/kx2一6kx+9的定义域为R,求实数k 的取值范围. 解析 要使函数有意义，需kx2一6kx十9≥0.已知定义域为R, kx2一6kx十9≥0对任意x∈R恒成立. ①当k=0时，不等式可化为9≥0，符合题意 ②当k>0时，需△≤0，即(-6k)2-4k·9=36k2-36k≤0，k(k-1)≤0. 0≤k≤1且k>0,:0<k≤1. 当k<0时，抛物线y=kx2一6kx十9开口 综上，k∈[0,1]. 向下，kx2一6kx十9≥0不恒成立. 方法技巧 1.本题先转化为一元二次不等式在R上恒成立. 2.若二次项系数含有宇母，要讨论二次项系数是否为零」 变式 2.已知函数)y-/kx-6kx+9 1 的定义域为R,求实数k的取值范围. 两题的解题 过程与例4 变式3.已知函数y=log5(k.x2一6kx十9)的定义域为R,求实数k的取值范围.美似，略 2k.x-8 变式4.已知函数f)=Ax十1的定义域为R,求实数及的取值范围。 月每而由题意知，kr+2kx十1≠0对x∈R恒成立 ①当=0时，kx2十2kx十1≠0可化为1≠0，显然成立. ②当k≠0时，△=4k2-4k=4k(k一1)<0，即k(k一1)<0,0<k<1. 综上，实数k的取值范围是[0,1). 考向©求函数的值域（最值）》 求函数值域的常见方法有：1.分离常数法；2.配方法；3.换元法；4.函数的单调性法；5.数形结合 法；6.基本不等式法， 1分离常数法 例5求函数y一的值城 函数的值域为{y|y∈R且y≠1}. 9《函数、导数及其应用第量 学习心得。 6求函数)一的值域 x十 55-3 sy 3-x _-(x-3) 22 2(+】 例6中的分离技巧是 把分子、分母中x的系 11 2 11 裁分别提出后，再转 ×1一 4x+10 x十2 化为例5的形式 y≠ 函藏的值我为小ER且y≠一号} ®方法技巧 1.形如y= cx+d r%ac≠0)的函最的值我为y≠台} 2.一次分式或类似于一次分式的形式中，注意分离技巧的运用 变式 5求函数y:≥1)的值域 解 0y-月-1-“x≥1，1≥2,0 1 2-2≤<0，-11， :04 :-1≤y<1. 利用x的范围，倒求值域 :函数的值域为[一1,1). 变式 6求函数y子的值城， 解析 x2+1 2 由≥0，得-1K-1十中≤1，-1y≤1 函数的值域为(-1,1]. 利用x2的范围，倒求值域。 ®方法技巧