第一章第八节 函数与导数-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

等习心得 第八节 函数与导数 考向⊙ 导数儿何意义的应用 1求切线方程 “在”点切线方程，点在曲线上，点为切点」 例1(2019·全国卷I)曲线y=3(x2十x)e在点(0,0)处的切线方程为 解析 y=3(x2+x)e,y'=er(3.z2+9.x+3). 又切点为(0,0)，切线的斜率=y。=3·e=3, 步骤：①求导数f(x): :所求切线方程为y一0=3(x-0),即y=3x. ②代入求k=fP(x)； ③写切线方程（点斜式）， 故答案为y=3.x. y一y%=k(x-xo). 例2 已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0，一1)，并且与曲 线y=f(x)相切，则直线1的方程为 “过”点切线方程，通常点不在曲线上（个别除外）. 解析 设切点坐标为(xo,xlx）.解决切线问题，设切点坐标是解题的切入点. f(x)=xlnx,f(x)=1十lnx,步骤：①求导； 切线方程的斜率为k=f(xo)=1十lnxo,②代入； f(x)=xnx在点(To.oln o)处的切线方程为 y-coln zo=(1十lnx)(x-z).③写切线方程（点斜式）； 又切线过点(0，一1)，④把过的点坐标代入③，得切点横坐标，其余迎刃而解. .-1-xoln xo =(1+In xo)(-o)=-xo-coIn .zo. 解得xo=1. 直线l的方程为y=x一1，即x一y一1=0. 故答案为x-y一1=0. 方法技巧 1.求解曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意 其取值范围 2.注意切线问题中曲线“在某点的切线”与“过某点的切线”的区别 变式 1.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)一x2+8.x-8,则曲线y=f(.x)在点(1， f(1)处的切线方程为 [f(2-x)]Y=f(2-x)·(2-x)'=f(2-x)X(-1)=-f(2-x). 解析 fP(x)=-2(2-x)-2x十8，f(1)=-2f(1)+6,f'(1)=2.又易知f(1)=1, 切点坐标为(1,1)，切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 故答案为2x一y一1=0. =x) 变式 2.已知函数y=f(x)及其导函数y=f(x)的图象如图所示. y=/(x) 则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是 P2.0) 解析 根据图象可知点P的坐标为(2,0)，且fP(2)=1, 切线的斜率k=1. 53《函裁、导数及其应用第章 学习心得 j● 则曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y一0=1×(x一2)， 即y=x一2，故切线方程为x一y-2=0.故答案为x一y-2=0. ②求切点的坐标 例3(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的 切线经过点（一e,一1）(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 解析 设A(xnx).由y=lnx得y'= x 步骤： 于是斜率=y==1, (1)求导； (2)代入 可知该曲线在点A处的切线方程为y一l山=1（红一）. (3)写出点斜式（切线方 x 程)方程； :切线经过点(-e,一1)， (4)代入点坐标，求h. -1-lnx=-e-1,即lnx=e, :点A的坐标为(e,l).故答案为(e,1). ®方法技巧 1.(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标. 2.抓住切点既在曲线上也在切线上这一信息，是求解此类题的关键 变式 3.(陕西卷)设曲线y=。在点(0,1)处的切线与曲线y=1(c>0)上点P处的切线垂直，则 点P的坐标为 解析 y=e,y=e,曲线y=e在点(0,1)处的切线的斜率k=e=1. 设点P的坐标为(m,n),y=1(x>0),y=一(x>0, (n>0). 曲线y=(>0)在点P处的斜率：=一 :西条切线相互垂直，k6=一1，即1X(厂清》 -1,m2=1(m>0),.m=1,n=1, 点P的坐标为(1,1).故答案为(1,1). ③求参数的值 例4（全国卷）已知曲线y=ae十xnx在点(1，ae)处的切线方程为y=2x十b,则( A.a=e,b=-1 B.a=e,6=1 C.a=e1,b=1D.a=e1,b=-1 解析 y=ae'+xIn x,.y'=ae'+In x+1. ,曲线在点(1，ae)处的切线方程为y=2x十b, 斜率k=y|=1=ae十1=2，解得a=e1. 又切点为(1,1)，代入y=2x十b,得1=2+b,即b=一1.故选D. 方法技巧 解决这类问题通常要利用好三个条件：(1)导数值等于切线的斜率，即一P():(2)点在 曲线上，=f(x):(3)点在切线上. 高中悬净字霸提分笔记>54 变式4.已知直线y=k.x+1与曲线y=x3十ax十b相切于点A(1,2),则2a十b= (等