第四章第一节 数列的概念与简单表示法-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

·等习心得 第四章数列 第一节 数列的概念与简单表示法 考向O由数列的前n项猜想数列的通项公式 例1写出下面数列的一个通项公式. (1)-1,1,一1,1，….-熟记符号的表示规律(-1)”，(-1)m1等. 2号1.0号… (3)3,9,3,9,… 。一)一←一3和9可看成在中点6的两侧左右摆动. (4)5,55,555,5555,… (5)1,3,6,10,…. (6)1,3,3,5,5,7,7,9,9,… 解析 (1)an=(-1)". （②)统一形X为一是吾一品品，再我规律样a=(一1 n2+1 (3)先玫变形式特点为6-3,6+3,6一3,6十3，，故am=6十（一1）”×3. a+b 推广a,ba,b,,a.=时b+（-1)b4, 2 2 a,6可看在中点生护的西制左右摆动。 (4)先我9,99,999,9999，…的规律为am=10m-1,再与数列5,55,555,5555，我关系，可 得a,=号0-10. 61,8610,可充为号号号婴再化为2,23,24,5 2222 故aw=n(n十1) 2 (6)装列形式可化为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1，，故4，=n+1+(少 2 方法技巧 根据所给数列的前项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式 中分子、分母的特征；(2)相邹项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号的特征和绝对值特 征.对此进行归纳、化归、联想.另：有的数列有通项公式，有的没有，有通项公式的也不一定只有 -个，0.10,1.0，l,,其道项公式4-1十（》-1+n=cos"-c0s"” 2 2 sin (n-1)n 0,n为奇数， 2 1,n为偶数. 109《数列第四章 学习心得)。 S1,n=1, 考向⊙ 利用公式an= 求数列的通项公式 Sm-Sw-1,n≥2， ①已知数列的前n项和S,的表达式，求通项公式a, 例2 已知数列{an}的前n项和Sn=n2一n十1，求其通项公式an: 解析 当n=1时，a1=S,=1； 当n≥2时，am=Sw-S。1=n2-n十1-[(n-1)2-(n-1)十1]=2n-2. 经检验，当n=1时，不特合上式. f1,n=1, 检验时，看a1是否符合n≥2时 an的表达式，若符合，则把数列 2n-2,n≥2. 的通项公式合写；若不特合，则 应写成分段的形式 ®方法技巧 已知Sn求am的3个步骤：(1)利用a1=S1,求出a1;(2)当n≥2时，利用an=Sn一S,n1 (n≥2)求出am的表达式；(3)最后检验总结 变式1.已知数列{an}的前n项和Sn满足log2Sn=n十l,求该数列的通项公式an: 由log2S,=n十1，得S,=2+1 当n=1时，a1=S1=22=4; 当n≥2时，an=2+1-2=2X2-2"=2 经检验，当a1=4时，不符合上式， 4,2=1, 故数列{am}的通项公式为an= 2",7n≥2. (S1,n=1, ②由an与Sn的关系求am或Sn-重点利用公式an= Sn-Sm-1,n≥2. 例3已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2a1,则S,=() A.2-1 B() c(号) D.(侵) (法一)当n=1时，a1=1, 当n≥2时，an=Sn-Sw-1=2a+1-2an,3an=2a+1, -号m≥2. 又S=2a1,当n=1时，S,=2a2,1=2a2a2=2, a,a=号×（侵》，经检套，当a=1时，不特合上式， 1,n=1, ×(侵)厂≥2 :Sn=a41十a2十a3十十an=1十a2十a十十a 高中悬净字霸提分笔记>110 等习心得 .3 1-2 1,n=1, (法二)同法一，可先求出am= 号×(3）m≥2 a=专×（侵）=号×（侵） 8=2a1=2×号×（侵）=（侵）.长选B ()S,=2a=2(S-S),S,=2S1-2S,.2S=3S =号训≥1，#化为和5，)的形式 5=5q=a(侵)=1×()=().选B (法回)：S=2ag,且a1=S,a=2ag,即1=2aa= S=a十口。=1十号号，把川=2衣入回个道项建行绘运，只有B项将合，故越B ®方法技巧 对含有项(an)与和(Sn)的递推式，处理方法通常有两种：一种是全部转化为项(am)的递推 式；另一种是全部转化为和(Sn)的递推式. 变式2.已知数列{an}满足a1十2a2十3a十…十an=2",则an= 当n=1时，由已知可得a1=21=2. a1+2a2十3a3++nan=2",① a1+2ae+3a3+…+(n-1)aw-1=2,② 由①-②，得nan=2"-2-1=2-1, a,21 (n≥2) 经检验，当=1时，不符合上式 2,n=1, 2,n=1, .an=2n-1 nn≥2. 故答