第四章第三节 等比数列及其前n项和-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

学习心得 第三节 等比数列及其前n项和 基本知识总结 等比数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个 定义 数列就叫做等比数列←a出=g(常裁) 等比中项 如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a,b的等比中项←一G=士√ab 通项公式 如果等比数列{an}的首项为a1,公比为q,那么an=a1q1 fa1,q=1, na1,q=1, 前n项和公式 S,= a(1-q") 或Sn= 1-g 9≠1 a-a9,q≠1 1-g 任意两项an, an=ang"m q"m=an am am的关系 q的(n一m)次方，即“角码差“次方 若m十n=h十k,则am·an=ah·a(若m十n=2k,则am·an=a). 角码和性质 若m十n十l=h十k十d,则am·an·a1=ah·as·aa 忌：若m十n=k,则am·am=ae(一般不成立) (1)若{an}为等比数列，则am,am+,am+2,am+3,…仍成等比数列. 性 (2)从前往后依次取m项和（或积），新数列成等比数列，如Sm,S2m一Sm,Sm 质 子数列 S2m,…成等比数列；有交叉项的和（或积）也成等比数列，如a十a2十a3,a2十 a3十a4,a3十a4十a,…成等比数列. (3)若{an},{bn}均为等比数列，则{an},{a},{a,bn}等也成等比数列 当/a>0, a1<0, 时，{an}为递增数列. (q>1 (0<q1 单调性 a1>0, a1<0, 或 时，{an}为递减数列. 0<g<1lq>1 当q=1时，{an}为常数列，当q<0时，{an}为摆动数列 高中悬净字霸提分笔记>120 考向Θ 等比数列的判定及证明 (等习心得 例1 已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中，b1=a1,bn=am一a1(n≥2)，且an十Sn=n. (1)设cn=an一1，求证：{cn}是等比数列. (2)求数列{bn}的通项公式. 解析 1 (1)当n=1时，a+S=1,2a1=1,有a1=2am+S,=n,① aw+1十S+1=n+1,② 由②-①，得a+1一a,十ar+1=1, 42a-a,+1,2(a1-1)-a,-1,.1-1 4m-12 袭列1c,是以一号为首项，号为公比的等比最列 2)由1)可知，=(-号)（侵）=-（侵）”，a,-,+1-1-(3) 当n≥2时4，=a.-a=1-(侵)”-[1-（侵）F]=()-(3)”=(侵月 又6=a,=2,代入上式也特合，6=（侵月 方法技巧 等北数列的判定方法： (1)定义法：若a中=q(g为非零常数)，则{an}是等比数列. a (2)中项法：若在数列{an}中，an≠0，且a+1=an·an+2(nEN),则数列{an}是等比裁列. (3)通项法：若数列通项公式可写成an=k·q(k,q均为非零常裁)，n∈N,则{an}是等比 数列. (4)前n项和法：若数列{an}的前n项和为Sn=k·q”一k(k为常数，且k≠0，q≠0,1)，则 {an}是等比数列. 变式1.若数列{an的前n项和Sn=3"一a,数列{an}为等比数列，则实数a的值是( A.-3 B.1 C.0 D.-1 解析 由S,=3-a,得a1=3-a,2=6,=18.{an}为等比裁列，a=a1·aa,a=1.故选B. 另：本题亦可直接用S=k·q一k得a=1.若条件改为Sm=3+1一a,则a=3. 变式 2.已知数列{an}的前n项和Sn=2m一1，则数列{an}的奇数项的前n项和为( A.21-1 B.21-2 C2-1 3 D.2-2 3 3 3 解析 :Sn=2”一1，：{an}为等比数列，且公比q=2,:其奇数项也成等比数列且公比=4， 藏到a的寺该孩的前n项和为区P“2。,数选C 1-4 3 变式3数列么中，点(6，T,)在直线y=一十1上，其中工，是数列么的前n项和. 求证：数列{bn}是等比数列. 121《列第©通 等为心转）（探析，点(bT)在直线y=-+1上，T，=-+1.① 当n≥2时，T。=-2b…+1，2 由①-②，得b，=-_2b+^b=(n≥2)，△==号 数列(b，}是以_号^2为首项，一为公比的等比数列 考向⊙等比数列的性质及应用 例2，（1)在等比数列{a，)中，a_3·a_B=5，则a_3a，a_ma_1a_2=—角码和性质问题 （2)等比数列{a_，}的各项均为正数，a_1a_5=4.则loga_1+log2a_2+loga_3+log2a_4+loga_5的值 为_____． （3)在等比数列{a，}中，as·a_s=6，a3+a_b=5，则a=_— （4)在正项等比数列{a，}中，a_2a_4+2a_3a_3+a_3a_6=25，则a_3+a_5= 解析（1）