第四章第二节 等差数列及其前n项和-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

等心得 第二节等差数列及其前n项和 基本知识总结 等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 定义 数列就叫做等差数列←a1一a,=d(常裁) 等差中项 如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项-A=a马 2 通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么an=a1+(n一1)d 前n项和公式 S,=a,+nnl)d_n(a,十a) 2 任意两项 a,=an十(n-m)d,d=a,-a(m≠m） n-m an,am的关系 若已知任意两项，可直接求公差d 若m十n=h十k,则am十an=a十ae(若m十n=2k,则am十an=2a). 角码和性质 若m十n十l=h十k十d,则am十an十a=a十ak十a 忌：若m十n=k,则am十an=a(一般不成立) (I)若{an}成等差数列，则am,am+,am+2,an叶3，…仍成等差数列. 性 (2)Sn,S2m一Sm,S3m一S2m,…成等差数列. 子数列 质 有交叉项的和，例如：a1十a2十a3,a2十a3十a4,a十a4十a5,…成等差数列. (3)若{an},{bn}均为等差数列，则{kan士qbn}也为等差数列(k,q为常数) 当d>0时，递增数列； 常见题型： 单调性 当d<0时，递减数列； 已知a1<0,d>0,求Sn的最小值. 当d=0时，常数列 已知a1>0,d<0,求Sn的最大值. St=n十1 奇偶项 (1)当n为奇数时，S,=n·a华S海一S=a4S--i 和性质 2)当n为网数时5一5-号4气第- 113《数列第四争 ·学习心修）一考向一等差数列的判定或证明 例1，在数列{a，)中a_1=一3.aa=2a=_1+2”+3(n≥2，且n∈N）设ba=“求证：{b，}是等 差数列． 0+析（法一)对于任意n∈N、 ：b-b，=“+3-aa+3=a-2a，-3=2+3===1，←定义法(直接利用等差数 数列b，}是首项为”2”——2=0.公差为1的等差数列，列的定义) （法二）：aw=2a-+2”+3，aw+3=2a，+2”+6， “，+3_2a、+2”+6_2a，+6+1=“=+3+1，b=b，+1，←构造法(通过构造 数列{b，}是等差数列．再利用定义)。 方法(技巧— 等差数列的判定方法 （1)定义法：利用定义a_n-a_x-1=d(d为常数，n≥2)。 （2)等差中项法：即证2aw=a+1+a_w(n≥2)。 (3)通项法：若数列{a_n}的通项为a_w=kn+b(k，b为常数)，则数列为等差数列。 （4)前n项和法：若数列{a，}的前n项和S，满足S_w=An+Bn(A，B为常数)，则数列{a，} 为等差数列．_________________________ 变式。1.已知数列{a，的前n项和为S…且满足a，+2S，·S.=0(α≥2)x-_2 1)求证：}}是等差数列。 （2)求数列{(a，}的通项公式。 I开(1(法一)ω，+2S、S=0m≥2)，SS=学， 数列{s|是y以2为着项2为公差的等差数列。 （法二）：a，+2S。S+=0(u≥2)，一构造法。 S，=S_a+2S·S_，-+=0，←两边同时除以SS构造等差数列 s=+2=0，55-=2. 号-a-2， ：数列{5)是以以2为首项2为公差的等差数列 画中发于学霸提分笔记》114 （2)由(1)知-s+(n-1)d=2+6x-1)×2=2n， 当n≥2时，aa=S，-S，=2a-2n-1D-2n-D： 又当n=1时a_1=S_1=_5，经检验，当n=1时，不符合上式 -n=1， 故a_w= ―2n(n-1)”≥2. 变式2.2021·全国卷Ⅰ)已知数列{a，}满足a_1=1，ay+1 _(an+1，n为奇数， a_w+2，n为偶数。 (1)记b，=aw，写出b_3b_2，并求数列{b，}的通项公式。 （2)求{a，}的前20项和。 解析（1b_1=a_2=a_1+1=2，b_2=a_4=a_3+1=a_2+2+1=2+3=5 ba-b…_1=a_2，-agb=a_》1+1-ax-a_m=a_a-D+1=a-1+1， =(a_2-2+2)+1-a_3-2“-1=a(2-2+1=a_2-2+2， 利用等差数列的之 =a_2ng+3-a_2-2=3， ：数列{b，}是以2为首项。3为公差的等差数列， ba=2+(n-1)×3=3n-1. 〈2)由(1)知ba=aw=3n-1，axm-b=3(n-1)-1=3n-4， ∴u_2_m-az(-)=3n-1-(3n-4)=3， 数列{a_m}是以2为首项。3为公差的等差数列． 又a_w=a_2-1+1=3n-1，a_b+=3n-2， 同理，数列{a2-+)是以1为首项，3为公差的等差数列，