第三章第一节 平面向量的有关概念及线性运算-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

学习心得 j● 第三章平面向量 第一节 平面向量的有关概念及线性运算 考向今平面向量的有关概念 例1判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） (1)若1a=|b|,则a=b或a=-b. ( (2)若a与b同向，且a>b1,则a>b. ( ) (3)a=b的充要条件是a=b,且a∥b. (4)若a∥b,b∥c,则a∥c. () (5)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同. () 解粉 (1)×(2)×(3)×(4)×(5)X (1)a=b,但a,b的方向不确定，故a,b不一定相等.(2)向量不能比较大小.(3)当a∥b 且方向相反时，即使a=b,也不能得到a=b.(4)若b为零向量，则a与c没有女然关系. (5)向量可以平移，相等向量的起点和终点可以都不相同. 。方法技巧 1.共线向量，不是说向量一定在同一条直线上，而是指都可以平移到同一条直线上，所以共 线向量又叫平行向量， 2.“向量”与“有向线段”的区别：向量有两个元素：大小和方向（与起点无关）；有向线段 有三个元素：起点、方向、长度 变式1.设a,b都是非零向量，下列四个条件中，使a a=b成立的充分条件是( b A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b,且a=|b1 解析 a:b分别表示与a,b同向的单位向量， a b 若a≠0，则与a同向的 只来a与b间白，税有日-名长道C 单位向量为日，与a反 变式 2.给出下列命题：①若a,b为共线向量，则存在唯一的实 句的单位向量为一日： a 数入，使得b=a;②若向量AB,CD共线，则A,B,C,D必 与a共线的单位向量为 须在同一直线上；③若a·c=b·c,且c≠0，则a=b.其 a 中假命题的序号为 a 解析 ①错误，若a=b=0,则入有无数个；②猎误，若AB,CD共 线，只需两向量方向相同或相反即可，则点A,B,C,D不 必在同一直线上：③错误，若a·c=b·c,且c≠0，则c·(a一b)=0,因此a=b或c⊥(a一b) 数答案为①②③. 高中悬净字霸提分笔记>94 考向⊙ 向量的线性运算 等习心得 例2设e1与e2是两个不共线向量，AB=3e,十2e2,CB=ke1十e2,CD=3e,-2e2.若A,B,D三点 共线，则k的值为 解析 CD=3e-2e:.CB=ke,+e,BD-CD-CB=(3-k)e-3e.. 又A,B,D三点共线，存在一个实数入，使得BD=入AB, (3-k)e,-3e2=λ(3e1+2e2)=3e1+2e2, 3 λ= (3-k=3入， 2 解得 -3=2λ， 15 故答泉为号 k21 例3 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 EB=( AA店-AC BA館-3AC C.AB+A D.1AB+3AC 解折 (法一)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， EB=ED+DB→三角形法则（加法）：首尾相连连首尾. -2AD+号-号×Ai+AO+号Ai-AO =A店-AC.故选A (法二)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， E馆=AB-A它→三角形法则（藏法）：共起点，连终点，指向被减向量的终点 -Ai-号A市-A店-号×号(Ai+AO A店-A心装选A 方法技巧 1.不含图形的情况：可直接运用相应法则或共线向量基本定理求解. 2.含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、 三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解， 变式3.已知△ABC和点M满足MA+M店+M心=0.若存在实数m,使得A官+AC=mAM,则 m=() A.2 B.3 C.4 D.5 由MA+M店+M心-0知点M为△ABC的重心. (法一)如图，设D为底边BC的中点， 则Ai=号Ai-号×号+Aò=}+AG, 5《平面向量第2逢 学习心得)。 AB+AC=3AM,m=3.故选B. (法二)M+M馆+M心-0，→把条件中向量的起点M转化为起点A即可. -AM+(AB-AM+(AC-AMD)=0. AB+AC-3AM=0,即AB+AC=3AM,:m=3.故选B. 变式4.如图，在平行四边形ABCD中，已知M,N分别为AB,AD上的点， D 且A应-A店，AN-号Ad.AC,MN交于点P.若A护-XAC,则入的 值为( A号 B多 c 6 D.7 :A矿=A成，A=号市， AP=λAC=入(AB+AD) (AMAN) =i+寸 M,N,P三点共线，且A-A应+A, 誉+警=1，解得A教道D 所用结论：若O店=入OA+uO心，A,4∈K,且A,B,C三点共线（孩直线不过点 O),则入十a=1. 证明：A,B,C三点共线，设AB=mAC,O元-OA=m(O心-OA)=mO0元 -mOA,..OB=m OC-mOA+OA=