第三章第三节 平面向量的数量积-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

(等习心得 第三节 平面向量的数量积 考向○ 平面向量数量积的运算 例1 在△AC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足兴咒-2若A=2 MC AC1=3,∠BAC=90°，则AP.BC=() A.1 R-号 C14 3 D-吉 (法一)由题意知BC-A心-A店，M店=A馆-AM=A店-号A心， A-AM+M-号AC+M-号AC+号(i-号AC) =号心+号店-号心-号A科号心 A,BC-(号A店+号AC)(AC-A) 把A户，BC分别用基底 AB,AC表示出来，直接计 -号A店，AC-号A恋+号AC-号C.A 算即可 (法二)建立如图所示坐标系， 则A0,0,B2,0),C0,3),M0,2,P(告，号) 可得A-(告，号)，B武-(-2,3 O(A) 于是，成=8+2=一号长选B 3 桑方法技巧 向量数量积的两种运算方法：（门）定义法：当已知向量的模和夹角0时，可利用定义法求 解，即a·b=|a|bcos0.(2)坐标法：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即a=(x, y1),b=(x2y2),则a·b=x1x2十y1y2. 变式 1.如图，在半径为1的扇形OAB中，∠AOB=60°，C为AB上的动点，AB与 60 OC交于点P,则OP·BP的最小值为 建立和国所示坐标系，则0(0，号)，B(号0)A(-号0)， Pm,0),-号≤m≤ 可得O苏-(m,-号)，前-(m-专0) 千是Oi,B驴=m(n-)=m-号m, 当m=时，O币，前的最小值- 数答采为一 101《平面向量第2章 学习心得 考向©平面向量的模 例2已知向量a=(cos0,sin0),b=(w3,一1)，则|2a一b|的最大值与最小值的和为 (法-）a=(cos0,sin0),b=(w3,-1), 2a-b=2(cos0,sin0)-(3,-1) 1.法一特点：先进行坐标 =(2cos0-3,2sin0+1) 运算，再求模， 2.法二特点：|a|= |2a-b=√(2cos0-3)2+(2sin0+1)月 √a平（平方开方技巧）. =/4cos20-4/3cos0+3+4sin0+4sin0+1 =V4sin 0-4v3cos 0++8 -8sim(0-哥）+8， 当sin(0-）=1时，2a-bs=4, 当sin(0-哥）=-1时，12a-b1m=0, :2a一b的最大值与最小值的和为4.故答案为4. (法二)a=(cos0,sin0),b=(3,-1) a=1,lb=2,a·b=、3cos0-sin0, 若a=(x1),b=(x2, 2a一b=√(2a一b)严>开方平方技巧（等价变形）. y2),则|a|=√+y听， =J4a2-4a·b+b a·b=x1x2十y%. =4-43cos0+4sin0+4 =v4sin 0-4v3cos 0+8 =v8sim(0-g）+8。 当sim(0写)=1时，2a-一b1=4, 当sin(0-智）=-1时，2a-b1m=0, 2a一b的最大值与最小值的和为4.故答案为4. 例3 已知两个非零向量a,b满足a十b=a一b1,则下列结论正确的是( A.a∥b B.a⊥b C.al=b D.a+b-a-b 解析 (法一)：a十b=a-b, a-b a+b (a+b)2=(a-b)2, a2+2a·b+b=a2-2a·b+b, 即a·b=0,a⊥b.故选B. (法二)·由向量的平行四边形法则和三角形法则，可知平行四边形对角线相等， 该平行四边形为矩形， a⊥b.故选B. →裁形结合，直观明了. 高中悬净字霸提分笔记>102 方法技巧 (等习心得 利用裁量积求模是数量积的重要应用，常用的处理方法有：(1)a=a·a=|a2或a=va·a. (2)|a士b|=(a士b)2=√a2士2a·b十b(平方开方技巧).(3)若a=(x,y),则|a|= /x2十y.(4)利用数形结合的思想，快速解题. 变式2.设A,B,C是圆x2十y2=1上不同的三个点，且OA·OB=0.若存在实数入4，使得OC 入OA+uOB,则实数入的关系为( ) A.入2十2=1 +-1 C.λ·=1 D.A十=1 0解粉 依题意，得OA2-=O=OC.-O心-O+uO,:O心=(aOA+uO), OC=入2OA2+OB+2uOA·OB,即1=λ2+2.故选A 变式 3.已知a,b为单位向量，a·b=0,若向量c满足|c一a一b|=1,则|c|的取值范围 是 解析 (法一)c-a-b|=1,即c-(a+b)=1,c2-2ca+bcos0+a+b2=1. c2-2c·√/2cos0+2=1,即c2-2c×√/2cos0+1=0, cos0=1+c≤1， 2v2 c c2+1≤2z|c|,即c2-22c|+1≤0， √2-1≤c≤√2+1.故答案为[