第三章第二节 平面向量基本定理及坐标运算-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

(等习心得 第二节平面向量基本定理及坐标运算 考向今 平面向量基本定理及其应用 例1> 如图，在正方形ABCD中，M,N分别是BC,CD的中点.若AC=AAM+ BN,则入十=() A.2 B C. (法一)设Ai=a,B=b,以AM,B示为基底，计算过程较繁琐. [a=AM-Ai+Bi-A店+号BC 则 b=B示-BC+C=B-号DC-BC-号Ai, a=Ai+号BC,BC-2a+号b, 解得 于是AC-Ai+BC=a-2b+ a+sb-Sa a+b, 即AC-6A7+2BN, AC=AAM+BN. -号以=号，X十=g教线D (法二)以AB,AD为基底向量，一→法一、法二的区别在于选择的基底向量不同. 则AM-AB+BMi-A店+号BC-AB+号AD,BN-BC+C=AD+号Ci-AD-号AB, 于是AC-AAM+B=入(Ai+号A方)+(-)Ai+A】 -(A-号)A+(3+)AD AC=AB+AD. -登=1， 解得 故选D 含+=1， A= 5 (法三)以AB,AD为坐标轴，建立平面 直角坐标系如图， 若图形易于建立坐标系， 设正方形的边长为1，则A(0,0), 选择坐标法解题计算过程 M1,号)，B1,0,N(号，1)，C1,1,05 较简便 可得Ai=(1,2),B=(-2,1),AC=(1,1D 7《平面向量第2第 学习心得 AC=AAM+BN. (1,1)-(1,2)+(-号，=(a-兰，3+) 入-号=1， 得 A十= 长选D 合=1, 2 μ5 方法技巧 用平面向量基本定理解决问题的一般思路：()先选择一组基底，并运用该基底将条件和结 论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底 会给解题带来方便 变式 1.如图，平面内有三个向量0A,O,O心，其中(OA,O》=120, 0A,0C=30°，且1OA1=1Oi=1,10心=23，若00=λ0A+ OB(a∈R),则入十μ=( A.2 B.4 C.6 D.8 如图，OC1=23,∠C0A=30°，∠AOB=120°， ∠COB=90°， 01=25=4,10B1=2, 2 :0心-0B+0A=20i+4OA, 入=4=2，入十=6.故选C 变式 2.设点O在△ABC内部，且OA+2OB+3OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比 为 解粉 (法一)如图，取AC边上的中点E,则2OE-OA+O心， 60E=30A+30C=30A-0A-20B=2(0A-OB)=2BA, 即3O元-BA S匹_B=3.故答条为3：1 S△xOE (法二)如图，取AC,BC的中点E,D, Oi+0心=2oi,① 则 0A+0元=20元.② ①×2+②，得0A+20B+30C-2(20D+OE),且已知OA+2O店+30C=0, 20元+十OE=0,OD与0元共线，且2OD1=OE, S△堰=3.故答来为3：1 高中悬净字霸提分笔记>98 考向©平面向量的坐标运算 等习心得 例2 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=( A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) 解析 由向量加法的平行四边形法则，得AC-AB+BC, BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1) AD=BC=(-1,-1). BD=AD-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).故选B. 例3 已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),且A,B,C三点不能构成三角 形，则k= ~A,B,C三点不能构成三角形，向量AB,AC共线 A,B,C三点共线AB,AC共线 AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), AC-0C-0A=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+10), :1×(k+1)-2k=0, 若a=(1y1),b=(x2,y2),则a∥b=x1y2一x2y=0. 解得k=1. 故答案为1. ®方法技巧 1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、裁乘运算的法则来进行求解的。 2.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标（终点坐标减起点坐标） 3.解题过程中，常利用“若向量相等，则坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解. 变式 3.如图，给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°，点C 120° 在以点O为圆心的AB上运动.若OC=xOA十yOB,其中x,y∈R,则x十y 的最大值为 (法一)建立如图所示坐标系，则A(1,0),B(c0s120°，sin120°) 即B(-,》) 设∠AOC=a,则OC-(cosa,sina). 0-0i+y0成=1,0)+(-2)=（红，0）+(-