第二章第五节 三角函数的图象和性质-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

(等习心得 第五节 三角函数的图象和性质 在解决与三角函数有关的题目时，如：判断三角函数的单调性，求三角函数的最值，求三角函数图 象的对称轴、对称中心，以及解一些简单的三角不等式等题型中，都用到了一种重要的解题方法 换元法. 考向Θ 三角函数的单调性 例1已知函数y=cos2x十sin xcosx- 2,求该函数的单调递增区间。 解淅 y=cos2x+sin xcos - 2 号sim(2x+), 利用“同增异减”，判断复合函数的单调性 令-罗十2km≤1≤罗+2m(EZ),即有-智十2km≤2x+平≤智+2km(∈Z). a十2k石≤2z≤骨+2km(∈Z,-是和十km≤0≤营+6m(EZD, :3 函装的单调递增区间为[一是m十m,君+k元]k∈ 3 方法技巧 1.解三角函数性质题时，能化简的可先进行化简，化简后的形式一般为“一角，一次，一 函数”， 2.求解形如y=Asin(wr十p)十k的性质题时，通常选用“换元法”，即把ar十p设成t, 可求. 3.求解形如y=Acos(am十o)十k和y=Atan(am十o)十k的性质题时，亦可用换元法. 变式 1,已知函数y=Bcos2x-sin2x,则该函数在区间一受，0]上的单调递减区间为（ A[-o] B[-80] c[] n[-,] y-5cos2x-sin2=2(cos2x-号sin2x）=2sin(贯-2. (法-)由y=2sin(号-2），淡1=哥-2，则y=2sin 易知1=哥-2x在R上为减函装，y=2sn1在区同 区间[专- [一晋+2m,晋+2m](k∈Z)上为增函装 (ke)与[-受0]的交 集如图， -+2km≤-2x≤+2km(k∈D, 五 A一是一k石≤≤授-kmEZ, y=5c0s2红-sin2x的单调违减区间为[一是一km, 晋-m](k∈z, 79《三角函数、解三角形第争 学习心得)。 又x∈[-罗，0]y=5c0s2红-sin2x的单澜递藏区间为[一B0故缝A (法二)由y=2sim(罗-2x)可化为y=-2sin(2x-智)： 设1=2-号，则y=-2sin1 法一、法二的相同点：先求出函装所有的单调违藏区间，再与区间[一受，0]求交集，可得。 法一、法二的不同点：函数的表达式不太相同，特别是x的系数相反 :1=2-晋在R上为谐函最y=一2sin1在区间[-晋+2张m,号+2km](k∈Z)上为减 函数， 号+2染m≤2x一胃≤号+2kmE2,一是十km≤x≤晋+kmkE2. y8ms2红一m2数的*酒递煮区间为[一十m爱十长]小eZ 又x∈[-受，0]，y-5c0s2x一sim2x的单洞递藏区间为[一，0]款选A (法三)由y=5cos2x-sin2x可化为y=-2sin(2x-写），设1=2r-写，则y=-2sin. [-吾0小，2x-哥[-哥-]脚e[-誓，- 又y一2m在区间[一智，罗]上为谐函藏，在区间[一受，一哥]上为成函， 由复合函教的单调性知1[一受，一哥]小，即一晋≤21一哥≤一骨，一≤1≤0 y=5c0s2x一in2x的单调递减区间为[一B0]数选A (法四)（由于此题为选择题，也可采用代入验证的方法来做，有时会较简单） 由y-月cos2红-sin2x=2sin(写-2z小，设1=晋-2x,剩y=2sim么 光整A,苦xe[0]时骨-2xe[景引，即e[骨号] =哥-2江在区间[一品0]小上为浅通发=2m1在区间[寻号]上为嘴西载， y=2sin(胃-2a)在区间[一是0]上为减函藏，将合题意，款蓬A 考向© 三角函数的最值（或值域） 例2求函数y=cos2x十sin xcos- 2在区间[0，否]上的最值 解粉 由州1如y-号m(2x十)】 把复合函数进行拆分，各个击破即可. 设1=2+平，则y=号 2 sin t. xe0,引，2x+e[]即e[平 y号n∈[票，，由正孩西装的因泰如， 当1=号，即2+平-号一君针，通装有装大值受 当1-平，2十月-平-号时，函数有最小准一 高中悬净字霸提分笔记>80 方法)技巧——____学习心得 1.求复合函数的值域或最值，通常选用换元法。 2.步骤：对于函发y=f(g(x))，(1)设t=g(x)，则y=f(t)；(2)由x的范围，求出t的范围； （3)由t的范围，求出y的最值或范围。____ 例3求函数y=cos^’x+sinx(|x|≤4)的最值。 解析y=osx+simx=1-smx+smx==sma+smx+1. 设t=sinx，则y=-r^2+i+1=-(t-_1)+5把sinx看成一个整体． ||≤1xε[-4]e[44] =-(-_2)++e[-141 当t=_2，即x=7时，ym-42 当t=-4，即x=-”时ym=一2. 方法)技巧 1.求形如y=Asin(