第二章第四节 三角恒等变换-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

(等习心得 第四节 三角恒等变换 考向 三角函数化简 例1 化简： (1+sin 0+cos )sin 0 0 一般地，“1-sin0 -c0s2 (1) (0<0<m); cos0”的处理方法与 v2-+2cos 0 "1+sin0十cos0”相同. 2cosa-2cosa+号 (2 2tan(平-a)sir(a+T） (2s号+2m号s号)(sm号-s) (1)原式 √2+2cos0 2cos (s号+sm号)(m号-s号 /2(1+cos) -2c0s 2 e-simr9 -c0s0,0∈(0，m). 2c082 2cosa(cosa-lD+号 (2)原式 -2 owasin'a+号 2am(年-a)o(年-a） 2sin(年-a）os(T-a (1-si2a) sin(g-2a】 cos 2a 2cos 2a. 方法技巧 三角函数化简原则：(1)统一角度.(2)统一函数名称.(3)尽量使项数最少，能求出值的应求 出值.(4)分母尽量不含三角函数.(5)被开方数尽量不含三角函数. 变式1.化简：V2+2cos8+2v1-sin8. 解析 原式=√2(1+cos8)+ 三角变形中，常见的开方、配方形式 2 v cos4+sin24-2sin 4cos 4 (1)√1士cos2a(其中，/1+cos2a /2cos2a,√/1-cos2a=√/2sina). =√/2·2cos24+2√/(cos4-sin4) (2)v1±sin2a =-2cos 4+2(cos 4-sin 4) =/sina士2 sin a cos a十cos2a --2sin 4. =√(sina士cosa)2. 变式2.若(4tana十1)(1-4tan)=17,则 :1+sin a tan(a-B)= (3)1-sin a (1+sin a)2 解析 由已知得4tana-l6 tan atan B+1 =V(1-sina)(1+sina） 4tan3=17, (1+sin a) 4(tan a-tan B)=16+16tan atan B coS a =16(1+tan atan B), 5《三角函数、解三角形第争 学习心得）+即tana-tanβ=4(1+tan atanβ)，变形可得，”α～tanβ1十tanatanβ 即tan(a-β)=4.故答案为4. 考向9三角函数求值 1给角求值 sin1 例2，求值：1)^5in47s1∘2)sin50^°(1+\sqrt{3}tan10^°) 解析（1原式=sn30^∘+17∘)=sn17∘c0s30^∘ cos17∘cos1 3sin10∘ （2)原式=sin50^∘(1+cos10∘) =sin50∘·C0s10°+3sin10^°=sn50^∘，2sin40∘ cos10° =2sin40^cos40∘=sim80=1. 方法(技巧一 给角求值问题的基本特点是式子中含有已知角，但均为非特殊角，所以无法直接代入求得 结果，解题的基本策略是发现角的关系，通过三角公式的运用，或者产生特殊角，代值求解，或者 式子中出现正项和负项相抵消，或者出现分子、分母相约分等情况，从而求得结果． 变式3.若a+β=”，则(1+tanα)(1+tanβ)=_两角和正切公式的变形应用． I解析（1+xana)(1++anβ)=1+ana+anβ+tametanβ =1+tan(a+β)(1-tanatanβ)+tan atanβ =1++an”(1-xnganβ)+1anaxnβ=2.故答案为2. \sqrt{3}tan12°-3 变式4·dcos^s12^∘-2)·sin12^∘=—_切化弦，统一名称，统一角度 \sqrt{3}·5m2--3 根所原X=2c2cos12-·m12-2c=2122-c24°·sin12° 2/3(÷sin12∘一2cos12∘) ―2cos24^∘·sin12∘-cos12∘ 2/3sm(12∘-60^∘)4/3sin-48^∘2=-4/3.故答案为一4/3． cos24°·sin24°sin48° 变式5.4cos50^∘-tan40°=__ 解析原X=4cos50^∘cos40sin40^∘-4c0s50^∘cos40∘-sin40^∘4sin40∘cos40∘-sin40- cos20^∘+÷sin20∘ =2sin80^∘-sin40^∘2sin(60∘+20∘)-sin(60∘-20∘)2 cos40°～ \sqrt{3}(÷cs20^∘+2sm20^∘53m50=\sqrt{3}.故答来为/3．cos40^∘ 画中数字学霸提分笔记》76 2给值求值 学习心得 例3 已知cas(e-)+sna=4g5.则sna+） =号cosa+sin -/3sin(a+g), 5n(a+