第二章第六节 正弦定理和余弦定理-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

学习心得可 第六节 正弦定理和余弦定理 考向O 利用正、余弦定理解三角形 例1 在△ABC中，若A=120°，AB=5,BC=7,则AC= 4=7 120 解析 (法一)（利用正弦定理求解） c=5 设c=AB=5,a=BC=7,b=AC,且A=120°， 由正孩定理知品入C 已知三角形两边及其中一边 印sinC-·snA=号·sn120-5 a 14 的对角。 osC (1)若求第三边，常用余弦 定理； .sin B=sin[T -(A+C)]=sin(A+C) (2)若求角，常用正弦定理 =sin Acos C+cos Asin C -×+()×- 由正弦定理湘aA=sinB,即b=smB大 b 14=3, sin A 3 2 AC=3.数答案为3. (法二)（利用余弦定理求解） 设c=AB=5,a=BC=7,b=AC,且A=120°， 由余弦定理知a2=b十c2一2bc0sA, 72=b+52-2b×5c0s120°， 6+5b-24=0,即(b十8)(b-3)=0, b=3或b=一8（舍去），b=3.故答案为3. ®方法技巧 1.解三角形的一般类型：(1)已知两角一边；(2)已知两边一角（夹角或对角）；(3)已知三边 2.熟记正弦定理、余弦定理及其变形是解题的关键， 变式 1.在△ABC中，sinA>sinB是A>B的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 在△ABC中，由正弦定理知，a sin A sin Bsin Ci=2R(R为△ABC外接圆的半径). b 则sinA= 2R'sin B=b a、b =2求smA>snB,2R2录a>b,A>B 反之，由A>B,则a>b,.2 Rsin A>2 Rsin B,sinA>sinB. :sinA>sinB是A>B的充要条件.故选C 高中悬净字霸提分笔记>8 变式2.在锐角三角形ABC中，BC=1,B=2A,则AC的取值范围是 等习心得 sin B sin A'AC-BC·sinB 由正弦定理可得AC=BC sin A 又B=2A,AC BC.sin 2A_2sin Acos A-2cos A. sin A sin A 0°<A90° /0°<A<90°， “△ABC为锐角三角形，0°<B<90°， 即0°<2A<90°， 0°<180°-A-B<90°，(0°<180°-A-2A<90°， 30°<A<45°，2 <A<,2<2asA<3,印夏<AC< 故答案为(2,3). 变式3.如图，在△ABC中，C=T,BC=4,点D在边AC上，AD=DB,DE⊥ AB,E为垂足，若DE=22,则cosA= 在AAC中，DE1AB,DE-2,eAD-BD=AD-2盟 sin A' AD=BD,∠A=∠ABD,:∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A. 22 sin C sin BDC,即n4_ 在△BCD中，由正弦定理，得BD=,BC 4 3 sin 2A' 2 业理，得A-批答来为有 变式 4.(2021·全国卷I)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=ac,点D在边 AC上，BDsin,∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 解析 (I)由正弦定理，得BD=asin Cac=2 sin∠ABC=方=6=6 (2)·∠BDA与∠BDC互补，：cos∠BDA=-cOs∠BDC.从而分别在△BDA和△BDC中 使用余弦定理得AD十BD-AB一DC+BD-BC 2AD·BD 2DC·BD :AD=2DC,AD-号6，DC-b,且由I)知BD=6, 到+-+- 化商，得-2-2x=0,再由=ae代入得3-1ac+60=0, (-3a)(3c-2a)=0,c=3a友c= 3. 当c=3u时，os2ABC士-B_士(3a2a·30=2(含去： 2ac 2a·3a 6 当c=2tABC-a2十2-&=3。a·3a7 2ac 2 2a·3a 12 综上，osLABC-= 89《三角函数、解三角形第津 学习心得 考向⊙ 判断三角形的形状 例2 在△ABC中，若sin2A十sinB<sinC,则△ABC的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 解析 由正孩定理知sinA=录sinB=2,sinC=求：simA十simB<siC, a2+<C2,cosC=a+一C<0,C为绕角.故选C 2ab 例3 在△ABC中，acos A=bcos B,判断△ABC的形状， J解析 (法一)由正弦定理知acos A=beos B可化为sinA·cosA=sinB·cosB, 则sin2A=sin2B,可得2A=2B或2A+2B=元，即A=B数A+B=7, 故△AB