第二章第二节 同角三角函数基本关系与诱导公式-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

学习心得可 第二节 同角三角函数基本关系与诱导公式 考向今同角三角函数基本关系 平方关系：sin2a十cos2a=l;商数关系：tana=snc cos a ①已知角的某一个三角函数值，求该角的其他三角函数值 例1 (1)若cosa=- ，且a∈(m,),则sine tan a= (2)若tana=2,则sina-cosa 解析 (1)c0sa= 5 在本例的“知一求二”中， 2.sina-1-cos'a-1--3)-25. 通过直角三角形模型可迅 sin8=士青又e(m,3）, 速求值，符号由角所在象 限决定.（此法计算简单） &sina=-青，tana-sng- cos a 3 数答案为一：号 53 (2)tan a=2.sin a=2.sin a=2cos a. cos a 把sina=2cosa代入sina十cos2a=1,得 4c0s2a十c0s2a=1,即5cos2a=1, 1 .cos a= :当a在第一象限时，cosa 5 5 ,sin a= 2、5 5 5 ，:sina-cosa= 当a在第三象限时，c0sa= 5 5 ,sin a=- 25 /5 5 5 故答美为发一 5 5 方法技巧 1.对于sina,cosa,tana这三个量，要能够“知一求二" 2.在三角函数开方运算中，要注意对三角函数值的特号的判断 3.利用直角三角形模型求解更简单，更迅速。 2sina士cosa与sin a cos a的相互转化 例2已知-变<a<受，sina+cosa=号，则sina-cosa tan a= ）(法一)由sina十cosg-方西边平方，得sina+2 sin acosa十cosa-25, 1 即1+2 sin acos a=251 高中悬净字霸提分笔记>68 .sin acos a=- <0又-号a<受sing0,cs8>0,-晋<a<0, (等习心得 :(ma-mser-1-2sna0sa-1-2X(一3-1+器-号sma-asa-号 5 sin a=- 1 又sina十cosa= 3 4 (法二)由sina十cosa=5 与sira+osa=1联立，得sina十（传-sina)°-l, 24 =0,即25sin2a-5sina-12=0, (5sina十3)(5sna-0=0,5na=-号友na=号，c0sa=青友e0sa=-号 4 5 -智<a<号cosa>0,sima= 3 4 ,c0sa=5 7 (法三)（用直角三角形模型求解）：sina十cosQ=5, sin acos a=- <0，且-<a<受—<a<0 25 sina+cosa=5,① 3 4 ①②两式对比可得sina= ，c0sa=5 sin a-cos a=- 5,tan a=- 3 方法技巧 1.对于sina十cosa,sina-cosa,sin acos a这三个式子，要能够"知一求二“. 2.借助直角三角形模型求解时，注意一些常见的勾股数模型，如(3,4,5)，(5,12,13)等. 3.对于sina,cosa,tana,sina十cosa,sina-cosa,sin acos a这六个式子，要能够"知一求五”. 变式 1.若1sn01十ms0-25,则sn0+ms0 sm01+1os01-25,1sm01+1es0)=(色y 1+21sim91lcos01=青sm0lcos01=言 .sin'0+cos'0=sin'0++cos'0+2sin20 cos20-2sin20cos20=(sin20++cos0)2-2sin20 cos20 -1-2 n0=1-2sm0s9y-1-2×(传)》-1-8-8 长容果为品 ③弦切互化 例3已知tana=2,求下列式子的值. (题型：已知正切，求含正、余弦的齐次分式的值) (1scos(2)sinsin acos (3)sinsin acosa. sin a-cos a sin a-2cos a 69《三角函数、解三角形第津 学习心得 sin a+cos a 解析 (1)sina十cosa cos a sin a-cos a sin a-cos a 岩 cos a sin a-sin acos a (2)sin'+sin acos taa+tan&-4-3. sin a-2cos a sin'a-2cos a tan'a-2 4-2 cos a sin'a-sin acos a (3)sin'a-sin acos a-sin'asin acos asin'a-sin acos a cos a sin aFcos a sina十cosa cos a tan'a-tan a4-22 tan2a1 4+15 方法技巧 若已知正切值，求一个关于正弦和余孩的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以 个