06 数学归纳法-2023高考数学总复习系列课程数学攻略一——解题方法

高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 26 / 51 06 数学归纳法 一、知识要点 数学归纳法适用于某些与正整数有关的数学命题.先证明当 n取第一个值 0n 时命题成立,然后假设当 n k ( k N ,且 0k n )时命题成立,并由此推出 1n k  时命题也成立,在完成了这两个步骤之后,就 可以断定命题对从 0n 开始的所有正整数n都成立了. 二、题组归源 1.求证:对所有的正整数n ,都有 2 1 2 1( ) | ( )n nx y x y   . 2.求证:对所有的正整数n ,都有 2 2 1133 | (11 12n n  3.已知 nS 是数列{ }na 的前 n项和, 1 2 3 a   ,且当 2n  时,均有 1 2n n n a S S    ,计算 1S , 2S , 3S , 4S ,由 此猜想 nS ,并证明. 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 27 / 51 4.是否存在等差数列{ }na ,使得等式 1 2 31 2 3 ( 1)( 2)na a a n a n n n           恒成立？若存在,求 出等差数列{ }na 的通项公式,并证明；若不存在,请说明理由. 5.是否存在常数 , ,a b c ,使得等式 2 2 2 2 211 2 2 3 3 4 ( 1) ( 1)( ) 12 n n n n an bn c             恒成 立？若存在,求出 , ,a b c ,并证明；若不存在,请说明理由. 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 28 / 51 6.求证:对所有大于1的正整数n ,都有 1 1 1 1 13 1 2 3 24n n n n n           . 7.设n为正整数,试比较 2 1n  与 2 1n  的大小,并证明. 8.观察下列不等式:1 1 , 1 11 2 2 3    , 1 1 11 3 2 3 7      , 1 1 11 4 2 3 15      , 1 1 11 5 2 3 31      , …… 请你按此规律写出第 n个不等式,并证明之. 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 29 / 51 三、走向强基 1.在数列 }{ nx 中, 11 x , 01)(2 1 2 1   nnnn xxnxx ,求 nx . 2.求证:对所有的正整数n ,都有 | sin( ) | | sin |n n  . 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 30 / 51 四、刻意练习 1.在数列{ }na 中, 1 1a  , 1 ( 2)n nna n a n    ,求 na . 2.求证: 3 3 3 3 21 2 3 (1 2 3 )n n          对n N 均成立.