04 反证法-2023高考数学总复习系列课程数学攻略一——解题方法

高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 16 / 51 04 反证法 一、知识要点 反证法是是数学中常见的间接证明的方法之一。反证法的逻辑基础是形式逻辑规律中的排中律。通常 反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理，推出矛盾，从而得出原结论的反面不真，由此肯定 原结论为真。中学数学中，一些起始性命题、否定性命题、唯一性命题、必然性命题、结论以“至多……” 或“至少……”的形式出现的命题、无限性命题、一些不等式的证明等用反证法来证明可收到较好的效果。 假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公 式、定理、题设、临时假定相矛盾或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一 定是正确的，当命题由已知不宜直接证明时，改证他的逆命题的方法叫反证法。 二、题组归源 1.证明: 2 是无理数. 2.是否存在实数 x ,使得 tan 3x  与 cot 3x  均为有理数？ 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 17 / 51 3.设 ( )f x 是 R上的增函数,若实数 ,a b满足 ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f a f b     ,证明: 0a b  . 4.若正实数 ,p q满足 3 3 2p q  ,证明: 2p q  . 5.已知实数 , , (0,1)a b c ,证明: (1 ), (1 ), (1 )a b b c c a   不可能都大于 1 4 . 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 18 / 51 6.是否存在四个正实数,它们两两之积分别是 2,3,5,6,10,16？若存在,请给出一组符合条件的数；若不存 在,请说明理由. 7.是否存在 0 2 x   ,使得 sin , cos , tan , cotx x x x 为等差数列？若存在,请给出一个符合条件的 x；若不存在, 请说明理由. 8.已知直线 l与椭圆 :C 2 2 1 3 2 x y   相交于不同的两点 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,且 6 2OPQ S  . (1)证明: 2 2 1 2x x 和 2 2 1 2y y 均为定值； (2)椭圆C上是否存在点 , , ,D E G 使得 6 2ODE ODG OEG S S S     ？若存在,判断 DEG 的形状；若 不存在,请说明理由. 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 19 / 51 三、走向强基 1.若集合 P Z ,且满足以下四个条件,则正确的一项是( ). 条件①: P中的元素有正数,也有负数； 条件②: P中的元素有奇数,也有偶数； 条件③: 1 P  ； 条件④:若 ,x y P ,则 x y P  . A.0 ,2P P  B.0 ,2P P  C.0 ,2P P  D.0 ,2P P  2.定义集合 ,X Y 间的运算: { | , , }X Y z z xy x X y Y     .若集合 { | 2, , }A c c a b a Q b Q     , 集合 { | 3, , }B c c a b a Q b Q     . (1)请写出一个数m ,使得m A B  ； (2)判断数1 2 3 6   与集合 A B 之间的关系,并说明理由. 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 20 / 51 四、刻意练习 1.已知 , ,a b c都是正实数,证明: 1 1 1, ,a b c b c a    中至少有一个不小于2 . 2.当 1 2 1 22( )p p q q  时,证明:在方程 2 1 1 0x p x q   和 022 2  qxpx 中至少有一个有实根.