02 换元法-2023高考数学总复习系列课程数学攻略一——解题方法

高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 6 / 51 02 换元法 一、知识要点 换元法又称辅助元素法,通过引进辅助元素,可以把分散的条件联系起来；或者把隐含的条件显示出 来；或者把条件与结论联系起来；或者变换为熟悉的形式,把繁难的计算和推证简化,从而达到化难为易, 化繁为简,化未知为已知的目的.换元时一定要注意新元的约束条件和整体置换策略的运用. 换元法通常有三角换元、线性换元、自身换元、整体换元、增量换元、均值换元、倒数换元、求和换 元等多种形式,它广泛应用于求解方程、因式分解、求函数值域、不等式证明、数列等,是中学数学中应用 最广泛的方法之一. 二、题组归源 1.已知实数 , ,a b c满足 a b c  ,求证: 1 1 4 a b b c a c      . 2.求函数 5( ) 2sin( ) cos(2 ) 12 6 f x x x     在区间 3[ , ] 4 4    上的最大值和最小值. 3.求函数 ( ) 3 1f x x x   的最大值和最小值. 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 7 / 51 4.已知正实数 ,x y满足 2 2 4x y  ,求 2 22 3x xy y  的取值范围. 5.若函数 2( ) 4f x x x  ,则方程 2 ( ) 4 ( ) 3 0f x f x   的所有不等实根之和为( ). A. 4 B.8 C. 4 D. 8 6.设函数 | 1| 2 5 1, 0 ( ) 4 4, 0 x x f x x x x          ,若方程 2 2( ) (2 1) ( ) 0f x m f x m    有五个不相等的实数根,则实数m 的值为( ). A. 2 B.6 C. 2或6 D. 4或6 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 8 / 51 7.已知实数 ,a b满足 2 2 0a b   ,求证:方程 2 2 1 1( ) 0x a x b x x      至少有一个正实根. 8.求函数 2 2 2 4 | | 4 3( ) 4 3 t k tf k k      (其中3 0k t  )的最大值,及对应的取等条件. 9.已知过点 (2,0)P 的直线 l与椭圆 22 22  yx 相交于不同的点 BA, ,求 OAB 面积 S的最大值. 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 9 / 51 三、走向强基 1.求方程 4 410 7 3x x    的所有实根. 2.求证: 100 100 100(1 ) (1 ) 2x x    对 ( 1,1)x  均成立. 高考复习 · 解题方法 题组归源 · 刻意练习 10 / 51 四、刻意练习 1.函数 2( ) 4sin( ) 3cos(2 ) 6 3 f x x x     在区间[0, ] 上的最小值为( ). A. 1 B. 8 3  C. 3 D. 11 3  2.若函数 2( ) 2f x x x  ,则集合 2{ | ( ) 4 ( ) 5 0}x f x f x   的所有元素之和为( ). A. 2 B.3 C. 4 D. 4 3.若函数 0, 0 ( ) 1| |, 0 x f x x x x        ,且方程 2 ( ) ( ) 0f x bf x c   有五个不等实根,则( ). A. 2, 0b c  且 B. 2, 0b c  且 C. 2, 0b c  且 D. 2, 0b c  且 4.已知过点 (2,0)P 的直线 l与椭圆 632 22  yx 相交于不同的点 BA, ,求 OAB 面积 S的最大值.