1.3三个正数的算数-几何均值不等式课件2021-2022学年高三上学期数学人教A版选修4-5

三个正数的算术—几何平均不等式 一、复习回顾 定理1 如果a, b∈R，那么 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成立. 定理2 如果a，b>0，那么 当且仅当a=b时，等号成立 . 思考？ 基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何 平均的关系. 这个不等式能否推广呢？例如，对于三个 正数，会有怎样的不等式成立？ 类比基本不等式的形式，我们猜想，对于三个正 数a, b, c, 可能有： 如果a，b，c>0，那么 当且仅当a=b=c时，等号成立 . 如何证明这个猜想呢？仍然类比基本不等式的推 出过程，我们先证明： 已知a, b, c∈R+ ，那么a3+b3+c3≥3abc , 当且仅当a=b=c时，等号成立 . 已知a, b, c∈R+ ，那么a3+b3+c3≥3abc , 当且仅当a=b=c时，等号成立 . 证明：因为 a3+b3+c3-3abc =(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc (x+y)3=x3+3x2y +3xy2+y3 =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab] =(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-ac-bc]   所以 a3+b3+c3≥3abc , 当且仅当a=b=c时，等号成立 . x3+y3= (x+y)(x2-xy+y2) 已知a, b, c∈R+ ，那么a3+b3+c3≥3abc , 当且仅当a=b=c时，等号成立 . 对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到     定理3 已知a, b, c∈R+ ，那么 当且仅当a=b=c时，等号成立 . 这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 .