1.1.3 三个正数的算术一几何平均不等式-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 号成立. ∵ a + b 2 ≥ ab, ∴ 0 < ab≤ 1 4 , 即 1 ab ≥4, ∴ 1 + 1 ab ≥5. ∴ (a + 1 a )2 + (b + 1 b )2 ≥25 2 . 当且仅当 a = b = 1 2 时,等号成立. 另解:( a + 1 a )2 + ( a + 1 b )2 = a2 + b2 + 1 a2 + 1 b2 + 4 ≥ (a + b)2 2 + 6 + 2b a + b 2 a2 + 2a b + a 2 b2 ≥ 1 2 + 6 + 4 + 2 = 25 2 ,当且 仅当 a = b 时取等号,即当 a = b = 1 2 时( a + 1 a )2 + ( b + 1 b )2 取最小值25 2 . 11. 解:设 y 为流出的水中该杂质的质量分数, 则 y = k ab ,k > 0,k 为比例系数, 依题意,即求 a、b 的值,使 y 最小. 依题设,有 4b + 2ab + 2a = 60(a > 0,b > 0), 所以 b = 30 - a 2 + a (0 < a < 30). ① 于是 y = k ab = k 30a - a2 2 + a = k - a + 32 - 64 a + 2 = k 34 - (a + 2 + 64 a + 2 ) ≥ k 34 - 2 (a + 2) 64 a + 2 = k 18 . 当 a + 2 = 64 a + 2 时,等号成立,y 取最小值. 这时 a = 6,a = - 10(舍去),将 a = 6 代入①,得 b = 3. 故当 a 为 6,b 为 3 时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分 数最小. B 级　 素养提升 1. C　 ∵ 直线 x a + y b = 1 过点(1,1), ∴ 1 a + 1 b = 1. 又 a、b 均大于 0, ∴ a + b = ( a + b) ( 1 a + 1 b ) = 1 + 1 + b a + a b ≥ 2 + 2 b a · a b = 2 + 2 = 4,当且仅当 a = b = 2 时,等号成立,故 选 C. 2. C　 该题考查数形结合的思想 和均值不等式. 作出 y = | lgx | 的图象, ∵ a≠b,不妨设 a < b. ∵ f ( a) = f ( b), ∴ 0 < a < 1,b > 1, 即 - lga = lgb,即 lg(ab) = 0, ∴ ab = 1,∵ a≠b, ∴ 由均值不等式 a + b > 2 ab = 2. 3. C 4. D　 ∵ a(a + b + c) + bc = 4 - 2 3, ∴ (a + b)(a + c) = 4 - 2 3. ∵ a、b、c > 0, ∴ (a + c)(a + b)≤(2a + b + c 2 )2 , 当且仅当 a + c = a + b, 即 b = c 时,等号成立. ∴ 2a + b + c≥2 4 - 2 3 = 2( 3 - 1) = 2 3 - 2. 5. 1 4 　 ∵ a - 3b + 6 = 0,∴ a - 3b = - 6,∴ 2a + 1 8b = 2a + 2 - 3b≥ 2 2a·2 - 3b = 2 2a - 3b = 2 2 - 6 = 2 × 2 - 3 = 1 4 ,当且仅当 a = - 3b, a - 3b + 6 = 0{ 时等号成立,即 a = - 3, b = 1{ 时取到等号. 6. 8　 函数 y = loga(x + 3) - 1 的图象恒过定点 A( - 2, - 1), ∵ 点 A 在直线 mx + ny + 1 = 0 上, ∴ - 2m - n + 1 = 0, 即 2m + n = 1, 则( 1 m + 2 n ) × (2m + n) = 2m + n m + 4m + 2n n = 2 + n m + 4· m n + 2 ≥4 + 2 n m ·4· m n = 4 + 4 = 8, 当且仅当 m = 1 4 ,n = 1 2 时,等号成立. 7. 解:∵ a > 2, ∴ loga(a - 1) > 0,loga(a + 1) > 0, 且 loga(a - 1)≠loga(a + 1), ∴ loga(a - 1)·loga(a + 1) < ( loga(a - 1) + loga(a + 1) 2 )2 = [ loga(a 2 - 1) 2 ]2 < ( logaa 2 2 )2 = 1, ∴ 当 a > 2 时,loga (a - 1)·loga(a + 1) < 1. 8. 解:(1)由 ab = 1 a + 1 b ≥ 2 ab ,得 ab≥2,且当 a =