17 点击高考统计问题的常见题型（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■曹香梅 统计的研究对象是数据,统计的核心是 通过数据分析研究和解决问题。统计是高考 的必考知识点,高考主要考查随机抽样,考查 频率分布直方图的应用,考查用样本估计总 体等。下面举例分析高考统计问题的常见题 型,供同学们学习与提高。 题型1:抽样方法 利用抽签法时,要注意把号签放在不透 明的容器中且搅拌均匀;利用随机数法时,注 意编号位数要一致;在分层随机抽样中,若在 某一层按比例抽取的个体数不是整数,应在 该层剔除部分个体,使抽取个体数为整数。 高考对抽样方法考查的两个热点:一是两种 抽样方法的判断问题;二是分层随机抽样的 样本容量的计算问题。 例1 (1)某品牌白酒公司在甲、乙、丙 三个地区分别有30个、120个、180个代理 商。公司为了调查白酒销售的情况,需从这 330个代理商中抽取一个容量为11的样本, 记这项调查为①;在甲地区有10个特大型超 市代理销售该品牌的白酒,要从中抽取7个 调查其销售收入和售后服务情况,记这项调 查为②。则完成①②这两项调查宜采用的抽 样方法依次是 。 (2)利用简单随机抽样,从n个个体中抽 取一个容量为10的样本。若第二次抽取时, 余下的每个个体被抽到的概率为 1 3 ,则在整 个抽 样 过 程 中,每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 为 。 解:(1)由于甲、乙、丙三个地区有明显差 异,所以完成①需用分层随机抽样。 在甲地区有10个特大型超市代理销售 该品牌的白酒,没有显著差异,所以完成②宜 采用简单随机抽样。 (2)根据题意得 9 n-1= 1 3 ,解得n=28。 故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率 为 10 28= 5 14 。 题型2:频率分布直方图及应用 频率分布直方图中横坐标表示组距,纵 坐标表示 频率 组距 ,频率=组距× 频率 组距 ,频率分布 直方图中各小长方形的面积之和为1。 频数 频率 =样本容量,样本容量×频率=频数。频率 分布直方图是高考的热点之一,高考主要考 查的是从图中读取需要的数据,能够计算数 字特征以及事件的概率,进而作出相应推断。 例2 从某小学随机抽取100名同学,将 他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布 直方图(如图1)。由图中数据可知a= 。 若要从身高在[120,130),[130,140),[140, 150]三组的学生中,用分层随机抽样的方法 选取18人参加一项活动,则从身高在[140, 150]的学生中选取的人数应为 。 图1 解:由0.005×10+0.035×10+a×10+ 0.02×10+0.01×10=1,所以a=0.03。 设身高在[120,130),[130,140),[140, 150]三组的学生人数分别为x,y,z,则 x 100= 0.03×10,解得x=30。同理可得,y=20, z=10。故从[140,150]的学生中选取的人数 13 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2022年6月 为 10 30+20+10×18=3 。 题型3:数据的集中趋势和离散程度的 估计 高考主要考查对样本数字特征意义的理 解。利用样本的数字特征(众数、中位数、平 均数以及方差)估计总体的问题时,要认真审 题,注意平均数、标准差、最大值、中位数的合 理运用。 例3 甲、乙两位学生参加数学竞赛培 训,现分别从他们在培训期间参加的若干次 预赛成绩中随机抽取8次,记录如下: 甲:82,81,79,78,95,88,93,84。 乙:92,95,80,75,83,80,90,85。 (1)求甲成绩的80%分位数。 (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从 统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选 两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适? 请说明理由。 解:(1)把甲的成绩按照从小到大的顺序 排列可得:78,79,81,82,84,88,93,95。 因为有8个数据,所以8×80%=6.4,所 以甲成绩的80%分位数是第7个数据93。 (2)由所给数据计算得x甲=85,x乙=85。 由方差公式得s2甲= 1 8× [(78-85)2+ (79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84- 85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2] =35.5。同理可得,s2乙=41。 因为x甲=x乙,s2甲<s2乙,所以甲的成绩较 稳定,选派甲参赛比较合适。 题型4:统计中的数学思想方法 数形结合是通过数与形之间的对应关系 和相互转化来解决问题的一种思想方法。统 计中常结合统计图表,对数据进行分析,从而 解决问题。 例4 从某学校的800名男生中随机抽 取50名测量其身高,被测学生身高全部介于 155cm和195cm之间,将测量结果按如下方 式分 组:第 一 组[15